В пособии рассмотрены такие разделы высшей математики как предел
и производная функции, неопределенный и определенный интеграл, дифференциальные уравнения, ряда , а также применение математического аппарата производной и дифференциала функции в приближенных вычислениях
для исследования функций и построения их графиков. <...> Предел функции
Число А называется пределом функции f ( x ) при x , стремящимся к x 0 ,
если для любого положительного числа ( >0) найдется такое положительное число >0 (зависящее в общем случае от ), что для всех x , не равных
x 0 и удовлетворяющих условию
x x0 < ,
выполняется неравенство f ( x) A < . <...> Для предела функции вводится обозначение lim f ( x ) =А.
x x0
Пределы функций обладают следующими основными свойствами: <...> Функция не может иметь более одного предела. <...> Операция предельного перехода перестановочна с операцией вычисления
непрерывной функции, т. е. справедлива формула <...> Если функция f ( x ) непрерывна в точке x 0 , то искомый предел равен
значению функции в этой точке, т.е. он находится непосредственной подстановкой предельного значения переменной вместо аргумента x :
lim f ( x) f ( x0 ).
x x0
Функция ( x ) называется бесконечно малой величиной при x x0 , если ее предел в точке x 0 равен нулю: lim ( x) 0. <...> Для раскрытия неопределенностей используются специальные математические приемы и два следующих предела, которые играют особую роль в
математике и поэтому называются замечательными:
sin x
1;
x
n
1
1
1 lim1 n n e (число Эйлера).
-второй замечательный предел nlim <...> Непосредственной подстановкой убеждаемся, что возникает
0
неопределенность вида . <...> Задачи для самостоятельной работы
Найти пределы следующих функций:
Таблица 1.1
Номер варианта
1 <...> Производной функции y f ( x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x при x 0 , если
этот предел существует и конечен и обозначается:
f ( x0 x) f ( x0 )
y
.
lim
x 0 x
x 0
x
y x <...>
Математический_анализ_Учебное_пособие.-_Казань,_2013.-_63_с..pdf
Казанский институт (филиал) ГОУ ВПО
Российский государственный торгово-экономический университет
_______________________________________________________
Кафедра информатики и высшей математики
КУШНИРЕНКО В.Н., ТАЛЫЗИН В.А.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие
КАЗАНЬ-2013г.
Стр.1
Введение
Учебное пособие подготовлено в соответствии с Государственным образовательным
стандартом высшего профессионального образования по
направлению экономика и предназначено для студентов заочного отделения.
Цель пособия – помочь студентам в усвоении фундаментальных математических
понятий, овладении навыками их применения на практике при
выполнении контрольной работы по соответствующим темам математического
анализа.
В пособии рассмотрены такие разделы высшей математики как предел
и производная функции, неопределенный и определенный интеграл, дифференциальные
уравнения, ряда , а также применение математического аппарата
производной и дифференциала функции в приближенных вычислениях
для исследования функций и построения их графиков.
По каждой теме приводятся необходимые теоретические сведения, решаются
типовые задачи, подобраны задания для самостоятельной работы и
вопросы для самопроверки.
1. Предел функции
Число А называется пределом функции f x( ) при x , стремящимся к x0
>0 (зависящее в общем случае от
если для любого положительного числа
ное число
x0 и удовлетворяющих условию
x x < ,
0
выполняется неравенство
f x A)(
< .
Для предела функции вводится обозначение limx x 0
f x( ) =А.
Пределы функций обладают следующими основными свойствами:
1. Функция не может иметь более одного предела.
,
( >0) найдется такое положитель),
что для всех x , не равных
Стр.2
2. Если f x( ) = С (постоянная), то
3. Если существует
x xlim Cf x C x x 0
0
x x 0
0
( ) lim ( )
lim f ( x ) lim g( x )
x x
lim f ( x )
x x0
f x CА.
4. Если существуют lim ( )
АВ,
а если В0 , то
x x 0
lim
x x0 f x А и lim ( )
0
g( x )
f ( x )
x xlim f g x
0
( )
f lim ( ) .
x x g x
0
Если функция f x( ) непрерывна в точке x0
x x0 f x f x( ).
0
Функция
, то искомый предел равен
значению функции в этой точке, т.е. он находится непосредственной подстановкой
предельного значения переменной вместо аргумента x :
lim ( )
ли ее предел в точке 0
Пример 1.1. limx x
Пример 1.2. limx x
2
2
( x ) называется бесконечно малой величиной при xx0 , есx
равен нулю: lim (x) Функция f x( ) называется
x x 0
0.
бесконечно большой величиной при xx0 , если lim ( )
x
3
2 3
2
2 3
x
2 3 3
3 2
9
2 2 3
2 2
1 9.
7
0 .
В рассмотренных примерах предел находился сразу в виде числа или
символа (бесконечность). Но чаще при вычислении пределов мы встречаемся
с неопределенностями, когда результат нахождения предела не ясен.
Например, в случае отношения двух бесконечно малых функций ( условное
обозначение 0
0
,0
) или отношения двух бесконечно больших функций (
Кроме двух названных случаев встречаются неопределенности вида
,1 , .
,
0 00
Для раскрытия неопределенностей используются специальные математические
приемы и два следующих предела, которые играют особую роль в
математике и поэтому называются замечательными:
- первый замечательный предел lim sin x
-второй замечательный предел nlim 1 1
0
n
x x 1;
n
no
lim1 n n e (число Эйлера).
1
).
x x0 f x .
x x
x x
lim f ( x )
lim g( x )
0
0
lim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) iml g( x ) A B,
xx0
x x g x В, то lim ( ) ( )
x x 0
xx0
B
А
.
5. Операция предельного перехода перестановочна с операцией вычисления
непрерывной функции, т. е. справедлива формула
xx0
f x g x =
lim f ( x )
x x0
С.
А, то для любого числа С верно равенство:
Стр.3