Казанский институт (филиал) ГОУ ВПО
Российский государственный торгово-экономический университет
_______________________________________________________
Кафедра информатики и высшей математики
ТАЛЫЗИН В.А.
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭКОНОМЕТРИКЕ
Учебное пособие
КАЗАНЬ-2008г.
Стр.1
Введение
При проведении практических занятий осуществляется более углубленное
изучение студентами тем дисциплины, развиваются навыки самостоятельного
решения конкретных практических задач. Методика проведения практических
занятий заключается в совместном решении студентами учебной группы
под руководством преподавателя типовых задач небольшого размера по изучаемым
темам дисциплины. При этом студенты используют учебные и учебнометодические
разработки кафедры по данной дисциплине, а также, в связи со
значительным объемом вычислений – калькуляторы. Одна из целей проведения
практических занятий – научить студентов использовать при решении задач
математические и математико-статистические таблицы.
Эконометрика опирается на массивы данных и достаточно сложные расчеты,
поэтому целесообразно некоторые практические занятия проводить в
компьютерных классах, т. е. проводить занятия в форме лабораторных работ.
Цель лабораторных занятий – выработка у студентов навыков по использованию
ПЭВМ в эконометрическом анализе систем, привитие умения по овладению
методами научного анализа. При решении таких задач рекомендуется использовать
ППП Excel, STATGRAPHICS, STATISTICA, MathCAD.
Целесообразно в лабораторный практикум включить следующие темы:
1. Модель парной линейной и нелинейной регрессии.
2. Модель множественной линейной регрессии.
3. Выявление (тесты Спирмена, Голдфелда-Квандта) и устранение гетероскедастичности
(ВМНК).
4. Выявление (тест Дарбина-Уотсона) и устранение автокорреляции.
5. Исследование временного ряда.
6. Моделирование сезонных колебаний.
Задачи, предназначенные для решения с использованием компьютера,
помечены в сборнике символом (*).
При применении компьютерных пакетов студенты должны как можно
больше использовать возможности этих пакетов. Например, построение линейного
уравнения множественной регрессии опирается на основы линейной алгебры
и для нахождения произведения матриц, обратной матрицы следует использовать
встроенные функции МУМНОЖ(-;-), МОБР(-) табличного процессора
MS Excel.
Отчет по лабораторной работе должен содержать: исходную информацию,
постановку задачи, результаты решения задачи (в таблицах) и анализ полученных
результатов.
1. Основные понятия математической статистики, используемые в эконометрике
1.1.
Статистическое оценивание
Стр.2
Изучается количественный признак X генеральной совокупности по выборке объема
n : x x ,..., xn . Признак X характеризуется неизвестным параметром
1, 2
, значение которого
требуется оценить по данной выборке. Различают точечные и интервальные оценки параметра.
числом
Точечной
называют статистическую оценку параметра, которая определяется одним
~ .
Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно
самому оцениваемому параметру при любом объеме выборки
M(~) .
имеет наименьшую возможную дисперсию среди всех несмещенных оценок этого параметра
m (~ )
Эффективной называют точечную оценку, которая при заданном объеме выборки
D(~)
iinD i
.
Состоятельной называют точечную оценку, которая при n стремится по вероятности
к оцениваемому параметру.
Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная
средняя
x n x .
1
дисперсия
n
i
i1
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная
n
s 1
2
та) является величина
s
s
2
.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами
ми интервала, покрывающего оцениваемый параметр
1 ,
с вероятностью . Интервал (
2 - конца1
,
называют доверительным интервалом (он характеризует точность оценки), а величину
пределении признака X является:
- при известном стандарте
x t
- при неизвестном
x t кр
Здесь
t
n
s
n
кр
m x t
ние 1), при котором выполняется равенство t( )
k 1n
и
2
, где
1
2
s
n
/ 2 ; кр
.
- точность оценки, t - значение аргумента функции Лапласа ( )t (приложеt
-
заданный уровень значимости.
- критическая точка распределения
Стьюдента (приложение 2), которая находится по двум входным числам: числу степеней
свободы
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения
нормального распределения X определяется по формуле:
n
m x t
n
;
-
доверительной вероятностью (она характеризует надежность оценки).
Доверительным интервалом для математического ожидания m при нормальном рас2
)
n D n
n
в xi x)
1
1 (
i1
Несмещенной оценкой генерального среднего квадратического отклонения (стандар2
.
Стр.3
s n s n 1
1
2
/ 2, 1
n
где
2
/ 2,n1
,
1 / 2, 1 - критические точки 2
2
n
P(
X
)
(
2
1 / 2, 1
n
- распределения (приложение 3).
объем выборки достаточно велик ( n >30), то справедлива формула:
)
,
в
)
(
x
в
где в
- выборочное стандартное отклонение, ( )t - функция Лапласа.
1. Цена некоторого товара в 20 магазинах была следующей:
50, 48, 47, 55, 50, 45, 50, 52, 48, 50, 52, 48, 50, 47, 50, 48, 52, 50, 50, 48.
На основе этих данных найти:
а) выборочные числовые характеристики;
б) несмещенные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего
квадратического отклонения цены товара.
2. За последние 12 лет статистические данные по годовым темпам инфляции
(%) в стране составили:
1,7; 1,2; 2,8; 3,3; 5,1; 1,9; -0,8; 0,3; 2,3; 2,8; 4,0; 3,6.
Найти несмещенные оценки среднего темпа инфляции, ее дисперсии и
среднего квадратичного отклонения.
3. Даны результаты 8 независимых измерений веса упаковки сахара прибором,
не имеющем систематических ошибок:
369; 378; 315; 420; 385; 401; 372; 383 (гр).
Определить несмещенную оценку дисперсии ошибок измерений, если:
а) вес упаковки сахара известен m =375 гр.;
б) вес упаковки сахара неизвестен.
4. При изучении производительности труда X (тыс. руб) на одного работника
торговли было обследовано n 68 однотипных магазинов. При этом выборочное
среднее признака X составило x 5,28 тыс. руб, а выборочное стандартное
отклонение -
вается законом нормального распределения, найти:
а) доверительный интервал для ожидаемого среднего значения m производительности
труда с заданной надежностью 0,95;
б) вероятность того, что величина производительности труда X в выбранном
наугад магазине окажется в пределах от 5, 0 тыс. руб до 6,0
тыс. руб.
5. При изучении предела прочности ткани X (Н/cм) было испытано 15 образцов,
при этом выборочный средний предел прочности составил x 27,3 Н/cм, а
исправленное стандартное отклонение s 2,2 Н/cм. Найти доверительный интервал
для ожидаемого среднего предела прочности m ткани данного артикула
Если генеральная совокупность подчиняется нормальному закону распределения и
x
,
в 0,63 тыс. руб. Полагая, что изменчивость признака X описы
Стр.4
с заданной надежностью 0,95, предполагая, что изменчивость показателя X
описывается законом нормального распределения.
6. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью
0,975
точность оценки математического ожидания m генеральной совокупности по
выборочной средней будет равна
ной совокупности.
совокупности с помощью выборочного среднего была 0,2, если стандартное отклонение
совокупности
0,99 точность оценки
1,5 ?
xi
Частота i
n
8. При оценке свойств картофеля было обследовано 20 проб и получены следующие
значения содержания крахмала X (%):
13,0 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5 16,0
1
3
5
6
2
2
1
Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание m нормально
распределенной случайной величины X генеральной совокупности по выборочной
средней при помощи доверительного интервала.
9. При изучении объема товарооборота X (млн. руб) 10 магазинов города, торгующих
одинаковым ассортиментом товаров, найдено среднее арифметическое
x 30,1 и исправленное среднее квадратическое s 6 статистических данных.
Оценить истинное значение изучаемой величины с помощью доверительного
интервала с надежностью
0,99.
10. Произведено 12 измерений одним прибором, не имеющем систематических
ошибок, некоторой физической величины. Исправленное среднее квадратическое
отклонение s случайных ошибок измерений оказалось равным 0,6. Найти
точность прибора с надежностью 0,99.
11. Предполагается, что месячный доход граждан страны имеет нормальное
распределение с математическим ожиданием m =1000 $ и дисперсией
2
40000. По выборке из 500 человек определили выборочный средний доход
x 900 $. Следует ли на основании 95% доверительного интервала отклонить
предложение о ежемесячном доходе в стране в 1000 $?
12. Взвешено 25 пакетов с чипсами, заполняемых автоматом, и найдено исправленное
среднее квадратическое отклонение s 1. Найти доверительный интервал,
покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение
надежностью 0,95, если считать вес пакета X нормально распределенной
случайной величиной.
с
0,3 нормально распределенной генераль7.
Каков должен быть минимальный объем выборки n для того, чтобы с надежностью
математического ожидания m генеральной
Стр.5