1944
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ
«УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»
ПО НАПРАВЛЕНИЮ 010800
Составитель: <...> В. Я. Ярославцева
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2012
УДК 51:53 (07)
Я765
Рецензент: доктор физ.-мат. наук, проф. <...> Я-765 Типовой расчет по теме «Уравнения математической физики» по
направлению 010800 [Текст] ⁄ В. Я. Ярославцева. <...> Настоящий типовой расчет составлен в соответствии с Государственным
общеобразовательным стандартом высшего профессионального образования и
предназначен для студентов физико-технологического факультета
специальности « Механика и математическое моделирование». <...> Классификация уравнений с частными производными второго порядка в
случае двух переменных. <...> Приведение уравнения
гиперболического типа к каноническому виду. <...> Приведение уравнения
параболического типа к каноническому виду. <...> Приведение уравнения
эллиптического типа к каноническому виду. <...> Свойства собственных значений и собственных функций оператора ШтурмаЛиувилля. <...> Задача Коши для одномерного уравнения колебания струны. <...> Полуограниченная струна, методы четного и нечетного продолжения,
условия согласования. <...> Краевая задача для однородного уравнения колебания струны с
однородными граничными условиями на отрезке. <...> Задача Коши для одномерного однородного уравнения теплопроводности. <...> Краевая задача для однородного уравнения теплопроводности на отрезке. <...> Единственность решения краевой задачи для уравнения теплопроводности. <...> Оператор Лапласа в декартовой, цилиндрической и сферической системах
координат. <...> Фундаментальное решение уравнения Лапласа на плоскости и в
пространстве. <...> Представление функции в виде суммы трех потенциалов. <...> Единственность решения задачи Дирихле <...>
Типовой_расчет_по_теме_«Уравнения_математической_физики».pdf
Теоретические вопросы
1. Классификация уравнений с частными производными второго порядка в
случае двух переменных. Характеристическое уравнение.
2. Канонический вид гиперболического уравнения. Приведение уравнения
гиперболического типа к каноническому виду.
3. Канонический вид параболического уравнения. Приведение уравнения
параболического типа к каноническому виду.
4. Канонический вид эллиптического уравнения. Приведение уравнения
эллиптического типа к каноническому виду.
5. Свойства собственных значений и собственных функций оператора ШтурмаЛиувилля.
6.
Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля.
7. Постановка основных задач: задача Коши, краевые задачи, смешанные
задачи. Типы граничных и начальных условий.
8. Общее понятие корректной задачи математической физики. Пример Адамара.
9. Задача Коши для одномерного уравнения колебания струны. Формула
Даламбера. Физический смысл решения.
10. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения. Формула Дюамеля.
11. Полуограниченная струна, методы четного и нечетного продолжения,
условия согласования.
12. Задача Коши для двумерного волнового уравнения. Метод спуска и
формула Пуассона.
13. Задача Коши для трехмерного волнового уравнения. Формула Кирхгофа.
14. Краевая задача для однородного уравнения колебания струны с
однородными граничными условиями на отрезке. Метод Фурье.
15. Задача Коши для одномерного однородного уравнения теплопроводности.
Формула Пуассона.
16. Краевая задача для однородного уравнения теплопроводности на отрезке.
Метод разделения переменных.
17. Принцип максимума для однородного уравнения теплопроводности.
18. Единственность решения краевой задачи для уравнения теплопроводности.
19. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности при помощи
преобразования Фурье.
20. Оператор Лапласа в декартовой, цилиндрической и сферической системах
координат.
21. Фундаментальное решение уравнения Лапласа на плоскости и в
пространстве.
22. Объемный потенциал. Свойства объемного потенциала. Формулы Грина.
Представление функции в виде суммы трех потенциалов.
23. Гармонические функции. Свойства гармонических функций.
3
Стр.3
24. Единственность решения задачи Дирихле в ограниченной области.
25. Условие существования решения задачи Неймана.
26. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
27. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа внутри круга.
Теоретические упражнения
1. Найти нестационарное распределение температуры в слое 0
Стр.4