Решение систем линейных алгебраических
уравнений с помощью обратной матрицы. <...> Понятие линейной зависимости и
линейной независимости столбцов. <...> Линейная алгебра с элементами
аналитической геометрии: операции над векторами; системы линейных
алгебраических уравнений; определители и их свойства; собственные значения
матриц; комплексные числа; прямые и плоскости в аффинном пространстве;
выпуклые множества и их свойства. <...> Определителем или детерминантом порядка n называется число
det A=|A|, которое ставится в соответствие каждой квадратной матрице
А=(аij)n x n порядка n по следующим формулам:
при n=1 det A = |a11|=a11,
11
при n=2 det A=
a11
a12
a 21 a 22
=a11a22- a21a12, <...> (2)
где Aij=(-1)i+jMij, а Mij – минор элемента aij, т.е. определитель порядка (n-1),
получаемый из |A| вычеркивания его i-ой строки и j-ого столбца, на
пересечении которых находится элемент aij. <...> Число Aij называется
алгебраическим дополнением элемента aij. <...> Для определителей третьего порядка из формулы (2) можно вывести
следующее правило вычисления, известное как «правило треугольника»:
определитель третьего порядка равен алгебраической сумме произведений
элементов, соединенных в треугольники по следующей схеме :
–
|A| = +
Рис. <...> Замечание: Правило треугольника применимо для вычисления только
определителей третьего порядка. <...> Построить матрицу A =(Aij)3x3 из алгебраических дополнений элементов
матрицы А. <...> |A|= 5
3 2
.
1 4 3
Чтобы найти минор М11 к элементу а11=2, нужно вычеркнуть первую строку и
первый столбец, на пересечении которых стоит элемент а 11=2 и вычислить
оставшийся определитель второго порядка. <...> Сумма произведений какой-либо строки (столбца) на их алгебраические
дополнения равна определителю:
14
det A = ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin , i=1, n , <...> Сумма произведений какой-либо строки (столбца) на алгебраические
дополнения другой строки (столбца) равна нулю. <...> Определитель треугольного или диагонального вида равен произведению
элементов главной диагонали. <...> Если матрица А – невырожденная, т.е. det A 0, то обратная
матрица А <...>
Линейная_алгебра__и__аналитическая_геометрия_Учебно-методическое_пособие.-_Казань_ТИСБИ,_2009.-_99_с..pdf
НОУ ВПО «Академия управления «ТИСБИ»
Г.В.Альтшулер, Н.Г.Леонтьева
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Учебно-методическое пособие
Казань 2009
Стр.1
Рекомендовано к печати
Учебно-методическим советом
НОУ ВПО «Академия
Управления «ТИСБИ»
Составители: к.ф.м.н., доцент кафедры математики НОУ ВПО «Академия
Управления «ТИСБИ» Г.В.Альтшулер;
к.ф.м.н., доцент кафедры математики НОУ ВПО «Академия
Управления «ТИСБИ» Н.Г.Леонтьева.
Рецензенты: к.т.н., доцент Е.А.Печеный;
Старший преподаватель кафедры математики НОУ ВПО
«Академии управления «ТИСБИ» Л.Р.Пантелеева
НОУ ВПО «Академия управления «ТИСБИ» 2009
2
Стр.2
Содержание
Введение .............................................................................................................. 4
Тема 1. Матрицы. Операции над матрицами. ..................................................... 5
Тема 2. Определители. Свойства определителей. Вычисление определителей. 11
Тема 3. Обратные матрицы. Решение систем линейных алгебраических
уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера.......................... 17
Тема 4. Ранг матрицы. Методы нахождения ранга матрицы. ........................... 21
Тема 5. Линейные операции над столбцами. Понятие линейной зависимости и
линейной независимости столбцов. ................................................................... 25
Тема 6. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Метод
Гаусса. ................................................................................................................ 29
Тема 7 . Однородные системы линейных алгебраических уравнений. ............. 35
Тема 8. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость
векторов. Базис................................................................................................... 40
Тема 9. Декартовы координаты векторов. Деление отрезка в заданном
отношении. ......................................................................................................... 46
Тема 10. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. ............. 50
Тема 11. Плоскость. ........................................................................................... 57
Тема 12. Прямая в пространстве. ...................................................................... 63
Тема 13. Прямая на плоскости .......................................................................... 68
Тема 14. Кривые второго порядка. .................................................................... 73
Тема 15. Комплексные числа. ........................................................................... 83
Тема 16. Линейные пространства и собственные вектора ................................ 89
Контрольные вопросы ....................................................................................... 96
Литература ......................................................................................................... 98
3
Стр.3
Введение
Учебное пособие написано для студентов экономических специальностей.
Пособие состоит из 16 тем, посвященные различным аспектам курса. Каждая
тема включает теоретическую часть в кратком изложении, решении
практических типовых примеров, а также задания для самостоятельной работы
студентам, к которым приведены ответы. Учебное пособие имеет своей целью
помочь студентам научиться решать типовые задачи по основным темам курса
и, естественно, не заменяет лекции и основную рекомендуемую литературу,
необходимые для более глубокого изучения предмета.
Структура пособия такова, что оно может быть использовано студентами
различных форм обучения – очной, заочной и дистанционной.
Выписка из Госстандарта. Математика. Линейная алгебра с элементами
аналитической геометрии: операции над векторами; системы линейных
алгебраических уравнений; определители и их свойства; собственные значения
матриц; комплексные числа; прямые и плоскости в аффинном пространстве;
выпуклые множества и их свойства.
4
Стр.4
Тема 1. Матрицы. Операции над матрицами.
Матрицей размерности (mn) называется прямоугольная таблица из
mn чисел aij (элементов матрицы):
a11
a21
A
a12
a22
.
a
m1
.
am2
...
...
.
...
Столбец – это матрица b
а a a 2
1
a
i m j
b
b
2
1
a1
a2
.
n
n
amn
где m – число строк матрицы, n – число столбцов, аij – элемент стоящий в i-ой
строке и j-том столбце (
1, , ) .
1,n
bm
n размерности (1n). Матрица размерности (nn) называется
квадратной порядка n.
Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы,
расположенные выше или ниже главной диагонали равны нулю.
A
a11
0
.
0
A
a11
0
.
0
a12
a22
.
0
a22
.
.
.
0 nn
a
a
.
n
n
.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы,
кроме элементов главной диагонали, равны нулю.
0
0
.
0 ann
Квадратная матрица называется единичной, если она диагональная
матрица и все элементы, стоящие на главной диагонали равны единице:
.
a1
2
размерности (m1). Строка – это матрица
(a )ij m n ,
5
Стр.5