А.Н. Кренёв, А.Б. Герасимов
Теория сигналов
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальности Радиофизика и электроника
и направления подготовки Телекоммуникации
Ярославль 2006
УДК 621.391
ББК З 811я73
К 79
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. <...> План 2006 года
Рецензент кафедра радиофизики ЯрГУ
К 79
Кренёв, А. <...> Изложены математические основы описания сигналов с помощью
разрывных функций, спектрального анализа периодических и непериодических сигналов, теории радиосигналов. <...> Описание сигналов
с помощью разрывных функций
Цель описания сигналов с помощью разрывных функций состоит в получении их аналитического представления. <...> (t )
функция
2 (функция Хевисайда)
Дельта-функция δ(t)
3 (функция Дирака)
Прямоугольный импульс
с единичной высотой
4
rect(t/τи)
(рект. функция)
Аналитическая запись
функции
Графическое изображение
1
1; t > 0 <...> Прямоугольный импульс единичной амплитуды rect( t τ и )
Эта функция (от греческого rectangular – прямоугольный) используется при описании финитных сигналов. <...> В частном случае, при τ u → 0 , получим единичный импульс
U(t) = lim rect(t τ u ) . <...> Приемы описания сигналов
с помощью разрывных функций
Единичная функция может быть использована для получения
аналитического выражения процесса включения или выключения
сигнала в некоторые моменты времени. <...> (1.8)
7
Для ограничения сигнала по времени с двух сторон достаточно
его умножить на прямоугольный импульс с единичной амплитудой
(рис. <...> Поэтому выражение
S n1(t ) =σ (t −ta ) −σ (t −tb )
есть не что иное, как аналитическая запись прямоугольного импульса. <...> (0) =0,5, поэтому для описания импульсов более удобно использовать функцию rect (t τ u ) . <...> Прямоугольный импульс является одним из простейших сигналов. <...> Последовательность прямоугольных импульсов длительностью
τ u и с периодом повторения T (рис. <...> Примеры описания сигналов
с помощью разрывных функций <...> Трапецеидальный импульс
Аналитическое <...>
Теория_сигналов__методические_указания.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра радиофизики
А.Н. Кренёв, А.Б. Герасимов
Теория сигналов
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальности Радиофизика и электроника
и направления подготовки Телекоммуникации
Ярославль 2006
Стр.1
УДК 621.391
ББК З 811я73
К 79
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2006 года
Рецензент кафедра радиофизики ЯрГУ
Кренёв, А.Н., Герасимов, А.Б. Теория сигналов : методические укаК
79
зания / А.Н. Кренёв, А.Б. Герасимов ; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль :
ЯрГУ, 2006. 68 с.
Изложены математические основы описания сигналов с помощью
разрывных функций, спектрального анализа периодических и непериодических
сигналов, теории радиосигналов. Рассмотрены примеры решения
задач.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальности
013800 Радиофизика и электроника и направлению подготовки 550400
Телекоммуникации очной и заочной форм обучения (дисциплины "Аналоговые
цепи и сигналы", "Введение в теорию сигналов", блок ОПД,
ФТД).
Ил. 50. Табл. 1. Библиогр.: 7 назв.
УДК 621.391
ББК З 811я73
Ярославский государственный университет, 2006
А.Н. Кренёв, А.Б. Герасимов, 2006
Учебное издание
Кренёв Александр Николаевич
Герасимов Александр Борисович
Теория сигналов
Методические указания
Редактор, корректор А.А. Аладьева
Компьютерная верстка И.Н. Ивановой
Подписано в печать 22.06.2006 г. Формат 60х84/16. Бумага тип.
Усл. печ. л. 3,95. Уч.-изд. л. 1,6. Тираж 300 экз. Заказ
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе ЯрГУ.
Отпечатано на ризографе.
Ярославский государственный университет.
150000 Ярославль, ул. Советская, 14.
2
Стр.2
1. Описание сигналов
с помощью разрывных функций
Цель описания сигналов с помощью разрывных функций состоит
в получении их аналитического представления.
1.1. Простейшие разрывные функции
Простейшие разрывные функции, которыми пользуются в теории
сигналов [1, 2], приведены в таблице 1
ТАБЛИЦА 1
№ Название функции
1 Функция знака Sign( )t
(сигнум–функция)
Единичная
( )t
2
функция
(функция Хевисайда)
3
Дельта-функция δ(t)
(функция Дирака)
Аналитическая запись
функции
Sign(t)=
1;
σ(t)=
12;
0;
1;
0;
−1;
t
t
t
δ(t)=
∞
δ(t)dt=1
−∞
4
Прямоугольный импульс
с единичной высотой
rect(t/
и)
(рект. функция)
=
3
rect(t/τи)=
1; / /
0; / /
t
t
>
≤
rect(t/τu)
u / 2
u / 2
t
-τu/2 0 τu/2
t
t
t
<
=
>
0;
=
>
0
0
0
≠
∞ =
; 0
t
t
0
0
0
< 0
Графическое изображение
1
Sign (t)
0 t
-1
σ (t)
1
1/2
0
δ(t)
0
t
t
τ τ
σ
τ
Стр.3
1. Функция знака Sign(t). Данная функция имеет постоянную
величину, равную единице, знак которой скачком изменяется при
переходе переменной t через нуль. Умножение произвольной
функции f(t)на Sign(t) означает изменение знака f(t) в момент
времени t 0= .
2. Единичная функция σ(t) . Сопоставляя аналитические записи
функций σ(t) и Sign(t), а также σ(t) и δ(t) , получим:
()
σ(t) =
2 1 Sign(t)
1
+
, σ(t) = δ(t)dt
−∞
t
(1.1)
Умножение сигнала S(t) на единичную функцию равносильно
включению этого сигнала в момент t 0= . Этим приемом широко
пользуются для описания сигналов на полубесконечном
)
(0 t ∞≤<
интервале времени. Помимо обозначения единичной
функции σ(t) в литературе часто встречается обозначение 1(t) .
3. Дельта-функция δ(t) . Значение функции равно нулю при
всех отличных от нуля значениях аргумента, принимая в точке
t 0= бесконечно большое значение. Площадь под графиком δфункции
равна единице.
Остановимся на основных свойствах δ- функции:
а) Свойство четности.
δ(t) является четной функцией δ(t)= t)δ(− . Из этого следует,
что:
0
Тогда
−∞
t
δ(t)dt =
1 при t 0
0 при t 0
12 при t 0
<
=
>
δ(t) = d () dttσ
4
,
что доказывает справедливость второго равенства в (1.1.), которое
можно записать иначе:
. Следовательно, используя
понятие δ- функции, можно выразить производную от разрывной
функции в точке ее разрыва.
=
−∞
δ(t)dt = δ(t)dt
0
∞
2
1
.
Стр.4
б) Фильтрующее свойство δ- функции.
Это свойство выражается соотношением:
t
t
a
t0
t b
f(t)δ(t − t )dt f(t )
b
a
0
=
t )
0
(1.2)
при t < < . Таким образом, интеграл от произведения произвольной
функции f(t), ограниченной на интервале времени (t , t )ba
0
,
на дельта функции δ(t − , равен значению функции f(t) в точке
t 0
t = .
в) Произведение произвольной функции f(t) на
δ(t − 0
t )
0
на значению функции f(t) в точке 0
0
0
E δ (t)dt2
−∞
=
∞
времени равна единице:
δ(t − .
t )
0
Результатом умножения произвольной функции f(t) на
t )
f(t)δ(t − = () ( − t0 ).
t ) f t δ t
г) Энергетические свойства δ-функции:
Энергия дельта-функции бесконечно велика, т.е.
= ∞.
Средняя мощность дельта-функции на бесконечном интервале
T
T δ (t)dt 1
Ρ lim 1 2
=
T→∞ −
2
T
4. Прямоугольный импульс единичной амплитуды rect(t τ )и
Эта функция (от греческого rectangular – прямоугольный) используется
при описании финитных сигналов.
В частном случае, при
τu
0
=
τu 0→
→ , получим единичный импульс
U(t) lim rect(t τ )u
.
Таким образом, единичный импульс имеет единичную амплитуду
и бесконечно малую длительность (рис. 1.1).
5
2
= .
является дельта-функция δ(t − , площадь которой равt
:
(1.3)
Стр.5