«Îïòèêà атмосферы и îêåàíà», 25, ¹ 10 (2012)
ОПТИКА СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД
УДК 535.2:621.373.826; 520.1; 520.16
Особенности дрожания изображения
оптического источника в случайной среде
с конечным внешним масштабом
Ë.À. Áîëüáàñîâà1, Ï.Ã. Êîâàäëî2, Â.Ï. Ëóêèí1, Â.Â. Íîñîâ1, À.Â. Òîðãàåâ1*
1 Институт оптики атмосферы им. В.Е. Зуева СО РАН
634021, ã. Òîìñê, ïë. Академика Çóåâà, 1
2 Институт солнечно-земной физики СО РАН
664033, ã. Èðêóòñê, óë. Лермонтова, 126, à/ я 4026
Поступила в редакцию 14.03.2012 ã.
Рассмотрены особенности флуктуаций оптических волн при распространении в случайно-неоднородной
турбулентной среде с конечным внешним масштабом, в том числе и в условиях, когда в атмосфере наблюдаются
области с преобладающим влиянием одной крупной когерентной структуры, для которой спектр
турбулентности может существенно отличаться от спектра колмогоровской модели. С использованием приближенной
модели спектра для когерентной турбулентности, ранее обоснованной в наших работах, выполнены
расчеты дисперсии смещений изображения оптического источника (в условиях применимости метода
плавных возмущений). Сравнение этих формул с известными аналогичными выражениями для колмогоровской
турбулентности показало, что при одинаковых условиях рассмотренные дисперсии флуктуаций в когерентной
турбулентности существенно меньше, чем в колмогоровской. Это означает, что в когерентной турбулентности
происходит значительное ослабление фазовых флуктуаций оптического излучения. Отмечается
важность этого вывода для трактовки результатов оптического зондирования атмосферной турбулентности.
Ключевые ñëîâà: турбулентность, дрожание изображения, внешний ìàñøòàá; turbulence, image flutter,
outer scale.
Введение
Экспериментальные исследования в атмосфере
показывают, что наблюдаются области с существенным
отклонением от традиционно применяемой для
описания колмогоровской турбулентности. Одна из
возможных причин – это влияние конечности внешнего
масштаба турбулентности [1–5]. В частности,
возможна реализация следующей ситуации, когда
имеет место преобладающее влияние одной крупной
структуры [6]. Турбулентность в таких областях
принято называеть когерентной. Гидродинамической
когерентной структурой называется компактное образование,
включающее в себя долгоживущую пространственную
структуру-ячейку (возникающую в результате
продолжительного действия термодинамических
градиентов) и продукты ее дискретного когерентного
каскадного распада. В расширенном понимании
когерентная структура является солитонным
решением уравнений гидродинамики [6] и включает
в себя как крупномасштабную, так и мелкомасштабную
турбулентность. Как показали результаты íà______________
*
Лидия Адольфовна Больбасова; Павел Гаврилович
Êîâàäëî; Владимир Петрович Лукин (lukin@iao.ru); Виктор
Викторович Носов (nosov@iao.ru); Андрей Витальевич Òîðãàåâ.
©
Больбасова Ë.À., Ковадло Ï.Ã., Лукин Â.Ï. и äð., 2012
ших ранних оптических измерений [7–10], в открытой
атмосфере часто наблюдаются оптические проявления
действия протяженных областей, в которых
определяющее влияние имеет одна когерентная структура.
Возникает вопрос о возможности влияния на
дрожание оптических изображений именно когерентной
турбулентности. Этот вопрос следует считать
важным, например, для задач наземной астрономии.
1. Влияние внешнего масштаба
турбулентности на дисперсию
дрожания изображения
Известно, что случайное смещение положения
центра тяжести изображения удаленного оптического
источника, формирующего плоский волновой
фронт, характеризуется положением энергетического
центра тяжести ρ F
нии (пренебрежение амплитудными флуктуациями)
(ñì.
11, формула
пл
ρρ (1)
k∑
F =−
(7.84) дается выражением
∑
F dS().
2
∫∫
ρ ∇
11
В приближении геометрической оптики градиент
фазовых флуктуаций ∇S(ρ1) (1) для плоской волны
можно записать в следующем виде:
845
пл, которое в первом приближе
)
Стр.1
X
∇= ξSi d
( ) ∫∫∫d n( , – ) exp( ),
2
ρκ iκ ρ1 1
11 1 X
0
dn(, – )Xκ
2
11
ξ1 κ1
(2)
где F – фокусное расстояние оптической системы;
X – расстояние, которое прошла оптическая волна
в турбулентной атмосфере;
ξ – двумерная
спектральная плотность флуктуаций показателя
преломления атмосферы; k – волновое число оптического
излучения.
Òîãäà, по аналогии с вычислениями в [12, 13],
получим выражение для дисперсии дрожания центра
тяжести изображения <>
()
ρ F
<>= ∫∫ ∫ ξ ∫dξ Ч
пл 2
()
ρ F
F dd d
∑ ∑∑
2
2
×< ξ
2
ρ12 1
2
ρ
00
∫∫ κκdn(, – ) ( , – ) > Ч
X d n X
22
11 2
Ч 111κκρ κ2
ξ2
exp( ) exp(– ).iiκ ρ2 2
(3)
Здесь угловые скобки обозначают операцию усреднения
по ансамблю флуктуаций показателя преломления
атмосферы.
Используя представление [11]:
=πδ κκ κn dd 2,
<ξ ξ2
2( – ) ( – ) ( 1, 1)
dn(, – ) ( , – )
1
κκ
2
11 2
X d n X
<> π
пл 2
ρ F
=
() 2 F dd d
∑ ∫∫ ∫ ξ Ч
2
2 12
∑∑ 0
2
ρ
ξ
2
ρ
×κ () (5)
∫∫di ρκκρ12
22
κ Φn(, )exp ( – ) .
Далее воспользуемся (для простоты расчетов) гауссовой
апертурой эффективного размера R, для которой
площадь
∞
∑= ρ = π ρρexp(– ) = πR ,
0
∫∫2
∑
а также
∞
∫∫
∑
di dρ= π
222
0
exp( κρ) 2
∫
κρ
=πRR
κ
22 2
exp(– 4),
где J – функция Бесселя. Тогда можно, используя
гауссову приемную апертуру, перейти к следующему
выражению для (5):
X
<>=() 2π Fd∫ ξ Ч
пл 2
ρ F
κ ξ
2 2
0
×κκ Φn(, )exp(– 2).
κ
2
2
∫∫dR (7)
22
Для вычислений интегралов в выражении (7)
необходимо использовать ту или иную модель спек846
ρρJ(
)exp(– )
ρ R =
22 2
dd R
ρ
2
(6)
Далее воспользуемся так называемым «эффективным
внешним масштабом турбулентности» для
всей атмосферы в целом, который может быть введен
на основе следующей формулы (ñì., íàïðèìåð, [1 )6] :
∞∞ –3
ξ κ0
( ) ∫∫
−
κ= ξ
*1
0
dCnn() .dC
2
()
13
ξ
2
ξ
00
Используя радиус когерентности атмосферной турбулентности
r0 вида
rk n() ,
0
0
≈ξ ξ
∞
22
d C
∫
−
<ϕ > ≈() 3,23Rr k 2
пл 2
F
–1 –5 33
Больбасова Ë.À., Ковадло Ï.Ã., Лукин Â.Ï. и äð.
0 . (14)
1–2 (κ R)
–1 6
*
0
1 3
–3 5
(13)
можно в итоге получить для дисперсии углового
дрожания изображения в фокальной плоскости телескопа
следующее выражение:
(12)
22 > =
12 δ ξ ξ Φ ξ κ κ22
1
в результате подстановки в (3) получаем
X
(4)
2
В наших работах [14, 15] было показано, что соответствующие
внешние масштабы для моделей (8)
и (9) связаны простым численным коэффициентом,
поэтому практически можно выполнять расчеты
флуктуаций оптических характеристик с любым из
этих спектров.
Так, для российской модели (9) можно получить
из (5) (ïðè óñëîâèè, что κ 0
–1 >> R)
<>=
( ) 2 0,033Γ(1 6) Ч
–1 3
ρ F
X
∫
0
пл 2
2
π F
×ξ ξndC R
2 2
() – .
2
16
κ0
13
(10)
Для случая наблюдения дрожания звезды с использованием
астрономического телескопа нужно положить
верхний предел интегрирования в (10) равным
∞. Тогда получаем, что дисперсия углового
дрожания изображения может быть рассчитана по
следующей формуле:
<> = < ϕ
∞
≈ξ ξRdCn ( ) 1–( 2) . (11)
0
3,23
() ( )FF > ≈
–1 3 22 1 6
ρ
пл 2
∫
F
2
пл 2
κ R2
0
пл 2
в виде
XX
тра турбулентности среды, в которой распространяется
оптическое излучение. В дальнейшем будем
применять различные модели атмосферной турбулентности,
учитывающие конечность величины внешнего
масштаба турбулентности, а именно изотропную
модель Кармана [5, 12]:
Φξ =
nn ) exp(– ),m
(, ) 0,033C ( )(ξ κ + κ0
κ
nn
(, ) 0,033C ( )
κ
22 2 –11 6
κ
×κ }κ
{
1–exp(– ) exp(– ).m
22 22
0
2 ξ κ ×–11 3
κ
κ
2
κ
2
(8)
и ìîäåëü, предложенную в публикациях [12, 13]:
Φξ =
(9)
Стр.2
Проанализируем действие второго члена в квадру
приемной аппретуры телескопа R.
κ*–1
()
0R
–1 6
0,91 0,87 0,80 0,75 0,70 0,57 0,42
1–2 ( )R
κ
*
0
1 3
шении внешнего масштаба к размеру приемной апертуры
порядка 103 отличие поведения дисперсии дрожания
изображения от степенного закона (≈ R–1/3)
[11] проявляется достаточно сильно, т.е. влияние
внешнего масштаба на дрожание изображения остается
значительным.
2. Действие когерентной
турбулентности
Покажем, что для кармановского спектра атмосферной
турбулентности (8) расчет для интеграла (7)
дает следующее выражение:
∞
∫dκκ3
0
=κ κ0
Γ
2(11 6)
1(–1 6) FR +
13
Γ
(1 6)( 2)
0 11(2, 7 6;
+Γ RF 2) ,R
222
01 1
–1 6
(11 6,5 6;κ0
а так как всегда κ22
∫
0
dR (16)
κ+ κ
3
() 2
R
22
0
11 006
≈
5 6
–1 3
–.
5
18 1 3
κ
0R 2 << 1, получаем в итоге
∞ κΓκκ exp(– 2) (1 6)
22
Далее сопоставим поведение дрожания изображения
для колмогоровской и когерентной турбулентности.
Приближенная модель спектра турбулентности
в условиях проявления одной когерентной турбулентной
структуры ранее была получена в наших
работах [7–10]. Проведем вычисления интеграла
в выражении (7) для модели когерентной турбулентности
следующего вида:
Φξ =
ког
nn ) exp(– ),m
(κ, ) 0,033 ( ) (κ + κ0
(C ξ )
2
ког
2 2 –7 3
κ
при этом получаем, что для интеграла из (7)
∞
∫
0
dF R 2) + dÑ (24)
Γ
κκ κΓexp(– 2) 1 (1 3)
κ+κ
322
11
() 2(7 3)
R
22
22 73
0
=
κ0
–2 3
(2, 2 3; κ0
∫
0
κκΦ κ ≈
ког
nn κ0
8
( ) 0,033( )
3
Особенности дрожания изображения оптического источника в случайной среде…
2 ког
–8 3
.
847
2 2
κ
(17)
при κκ
22
0 m << 1 имеем
∞
при κκ
22
0 m << 1 получаем
∞
∫
0
dC (22)
κκΦ κ ≈
nnξ κ0
2
() 30,033 ( ) .
5
–5 3
Для модели когерентной турбулентности вида (17)
∞
∫
0
×κ κ0 κm) +
Γ(7 3)
Γ(4 3)
+Γ κ
–8 3
0
(–4 3)mm) ,
–8 3
11
F(7 3, 7 3;
κ κ
22
0
11
F(1,–1 3;
22
(23)
dκκΦêîã κ =
n
( ) 0,033 2
n
() Ч
С
2 ког
22
2)
(15)
+Γ κ
(–5 6)mm) ,
–5 3
11
F(11 6,11 6;
κ κ
22
0
exp(– 2)
()
κ R
κ+ κ
22
22 11 6
0
=
равна:
∞
0
ратных скобках выражения (14), обусловливающего
отличие поведения дисперсии дрожания изображения
как функции размера приемной апертуры R
от степенной зависимости вида R–1/3. В таблице
приведены результаты расчетов поведения дисперсии
дрожания изображения для различных значений
отношения эффективного внешнего масштаба
турбулентности для атмосферы в целом κ 0
* к ðàçìå1000
300 100 50 30 10 5
+Γ RF R 2) .
(–1 3)( 2)
222
01 1
13
При óñëîâèè, что κ22
<ϕ > = π 0,033
() 2
пл 2
×κ Γ–3 (2 3)(R 2) .
Γ(7 3)
Γ(1 3)
–2 3
0
2 13
Далее (19) можно переписать в виде
∞
Анализ таблицы показывает, что даже при îòíî- Fn<ϕ > = π 0,033
0
() 2
пл 2
∞
1,46∫ () κ
При корректном сравнении действия когерент≈ξ
ξdCn ( )
0
×κ0 1– 3Γ(2 3)( 2)R
ког –2 3
–2 3
− Γ
2213
0
2
Γ(7 3)∫ ()( )
21/3 ≈
Γ(1 3) dC2
ξ ξ Ч
ког
(7 3, 4 3; κ0
ражению для когерентной турбулентности
∞
Fn( )dC∫ ()ξ ξ Ч
2
2
0
(19)
ког
(18)
0R 2 << 1, это приводит к âû1
3 (2 3)(R 2) . (20)
ной и традиционной колмогоровской турбулентности
необходимо обеспечить равенство энергии турбулентности
для используемых спектров вида (8) и (17),
т.е. обеспечить равенство следующих интегралов:
∞∞
∫∫
00
()
dd
κκΦ κ = κκΦ κnn().
ког
Так, для колмогоровской модели вида (8) энергия
∫dF κ0 κ +
–5 3
κκΦ κ =() 0,033
nm
С
2(11 6)
n
2 Γ(5 6)
Γ
κ0
11(1,1 6;
22
)
(21)
Стр.3