ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2006. Т. 47, NУДК
550.348.425.4
ДВИЖЕНИЕ ГРУНТА В ВОЛНЕ РЭЛЕЯ,
ВОЗНИКАЮЩЕЙ ПРИ ПОДЗЕМНОМ ВЗРЫВЕ
В. А. Симоненко, Н. И. Шишкин, Г. А. Шишкина
Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики, 456770 Снежинск
E-mail: simonenko@vniitf.ru
Получены аналитические представления для полей смещений и напряжений в поверхностной
волне Рэлея (R-волне), возникающей в упругом полупространстве от внутреннего
источника, который формирует такую же сейсмическую P-волну, что и подземный
взрыв. Рассчитаны осциллограммы и траектории частиц, а также напряжения внутри
полупространства и на его поверхности. Получены соотношения для потока энергии в
R-волне. Для каменной соли оценена доля энергии взрыва, переходящей вR-волну. Установлено,
что эта доля может достигать значений порядка 1 % полной энергии взрыва,
если взрыв происходит на камуфлетной глубине. При увеличении глубины заложения
заряда энергия R-волны уменьшается приблизительно обратно пропорционально глубине.
Ключевые
слова: подземный взрыв, волна Рэлея, смещение, напряжения, поток энергии.
Введение.
Упругие поверхностные волны Рэлея (R-волны) [1] возникают при динамических
воздействиях на поверхности упругих тел. В конструкциях малых размеров
они находят применение в качестве ультразвуковых волн. Волны Рэлея наблюдаются и в
крупных конструкциях, инженерных сооружениях. R-волны возникают также при взрывах,
землетрясениях и ударах космических тел о планеты. Сейсмические R-волны используются
для зондирования земной коры и изучения ее строения, длинные R-волны — для
исследования мантии Земли. Рэлеевские волны, образующиеся при взрыве, содержат значительную
долю энергии взрыва и на некотором расстоянии от эпицентра становятся
доминирующими среди других сейсмических волн. В них содержится информация об источнике
энергии и свойствах среды. Например, результаты анализа записей R-волн при
некоторых подземных ядерных взрывах позволили сделать вывод, что в эпицентрах взрывов
происходили откольные разрушения среды [2]. В [3] показано, что при ударах космических
тел о Землю фокусировка R-волны в области антипода (области, диаметрально
противоположной месту удара) может приводить к образованию таких необычных геологических
структур, как трубки взрыва, или диатремы.
Волны Рэлея, возникающие в упругом полупространстве под действием сосредоточенного
источника, рассматривались в [4–6]. В работе [7] изучалась задача Лэмба в случае
изотропной упругой сферы, там же получены выражения для волны Рэлея на поверхности
упругой сферы. В [8] исследовано движение поверхности грунта при взрыве в полупространстве,
в [9] — движение поверхности упругого шара при заглубленном взрыве. В работе
[10] изучались волны Рэлея, распространяющиеся вдоль искривленной поверхности
упругого тела, создаваемые гармоническим источником. В данной работе для взрывов на
большой глубине представлены более полные результаты исследования волны Рэлея как
на поверхности упругого полупространства, так и внутри него. Рассматривается поток
энергии, переносимой волной Рэлея, и дается оценка доли энергии взрыва, поступающей в
◦ 4
3
Стр.1
4
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2006. Т. 47, N◦
4
R-волну. Такие данные необходимы для более точных оценок разрушающего воздействия
R-волн на различные инженерные сооружения, а также при описании динамических геологических
процессов, происходящих в областях, диаметрально противоположных месту
удара космических тел о поверхность планет [3].
1. Источник волн. Сейсмическая продольная P-волна, возникающая при подземном
ядерном взрыве, описана в работе [11] с использованием потенциала поля упругих
перемещений, содержащего три свободных параметра:
ϕ(t,R) = −
Φ(∞)
R f(τ).
(1.1)
Здесь t 0 — время, отсчитываемое с момента взрыва; R > 0 — расстояние до центра
взрыва; Φ(∞)f(τ) — приведенный потенциал; Φ(∞) — стационарное значение приведенного
потенциала; f(τ) = 1 − e−τ(1 + τ + τ2/2 + τ3/6 − Bτ4) — функция источника, формирующего
такую же сейсмическую P-волну, что и подземный взрыв; τ = (t − R/cp)/t0;
t0 — характерная длительность излучения волны; cp — скорость распространения продольных
упругих волн; B — постоянная, зависящая от свойств среды. С характерным
временем t0 связана характерная длина cpt0, которая для скальных пород приблизительно
равна радиусу зоны дробления, окружающей очаг взрыва.
Следует отметить, что аппроксимирующий полином четвертой степени, содержащийся
в функции источника, позволяет удовлетворительно описать потенциал в ближней сейсмической
области взрыва. Как показано в [12], на телесейсмических расстояниях более
приемлемой аппроксимацией является полином второй степени. Кроме того, при малых
глубинах взрыва, на которых происходит откол в эпицентре взрыва, более приемлемым
является полином третьей степени [2]. Данные аппроксимации могут быть получены путем
отбрасывания соответствующих степеней и подбора коэффициента B при старшей
степени полинома в функции f(τ). Энергия Ep, излучаемая на “бесконечность” в виде
P-волны, определяется по формуле [11]
Ep = πα(B)ρ0c2
pκΦ(∞),
(1.2)
где ρ0 — плотность среды; α(B) = (5+3(1+24B)2)/64; κ = Φ(∞)/(cpt0)3.
2. Волна Рэлея. Сосредоточенный взрыв в однородной упругой среде генерирует
сейсмическую волну продольного типа (P-волну). В результате взаимодействия этой волны
со свободной поверхностью возникает поверхностная сейсмическая волна, или волна
Рэлея.
Рассмотрим движение, возникающее в упругом полупространстве под действием источника
(1.1). Введем цилиндрическую систему координат Orϕz, в которой ось z направлена
внутрь среды, а ось r — вдоль свободной поверхности z = 0 (рис. 1). Источник
поместим в точку (0, z0). Движение предполагается не зависящим от угловой координаты
ϕ. С начального момента t = 0 и до момента подхода P-волны к свободной поверхности
движение описывается потенциалом (1.1), который в безразмерных переменных имеет вид
ϕ0(t, r, z) = −f(t−
r2 +(z0 −z)2 )/r2 +(z0 −z)2 .
ϕ0(t, r, z) = ϕ(t,R)/(κ(cpt0)2), R =r2 +(z0 −z)2 .
С момента начала отражения P-волны от свободной поверхности движение описывается
потенциалами ϕ1 и ψ(0,ψ, 0), связанными с полем смещений u зависимостью
u = gradϕ1 +rotψ,
(2.1)
Здесь время t измеряется в единицах t0, расстояние — в единицах cpt0. Потенциал (2.1)
можно записать в виде
Стр.2
В. А. Симоненко, Н. И. Шишкин, Г. А. Шишкина
O
R0
zs
zp
z0
PP
PS
r
5
P
z
Рис. 1. Система координат, положение фронтов волн и контрольная поверхность
— цилиндр радиуса R0
где ϕ1 = ϕ0 + ϕ. Потенциалы ϕ и ψ находятся из решения волновых уравнений теории
упругости
∂2ϕ
∂t2 = ∆ϕ,
1
γ2
∂2ψ
∂t2 = ∆ψ −
ψ
r2 ,
t z0, r 0, z 0
(2.2)
(∆—оператор Лапласа; γ = cs/cp; cs —скорость распространения поперечных волн) при
нулевых начальных данных и равенстве нулю вектора напряжений на свободной поверхности:
ϕ
1
γ2 −2∂2ϕ
∂t2 +2 ∂2ϕ
t=0 = ψ
∂z2 +2 ∂2ψ
2 ∂2ϕ
∂r ∂z + 1
t=0 = ∂ϕ
∂t
∂r∂z + 2
r
γ2
∂ψ
∂r
t=0
z=0
∂2ψ
∂t2 −2 ∂2ψ
∂z2
= ∂ψ
∂t
= −
z=0
t=0
= 0,
1
γ2 −2∂2ϕ0
= −2 ∂2ϕ0
∂r ∂z
∂t2 +2 ∂2ϕ0
.
∂z2
z=0
С помощью преобразования Лапласа по t и преобразования Фурье — Бесселя по r
можно получить решение задачи (2.2), (2.3) в виде [6, 13]
ϕ(t, r, z) = ϕ0(t, r, z1)−ϕ0(t, r, z2)+ϕ1(t, r, z2),
ϕ0(t, r, z) = −f(t−ρ)/ρ, ρ = (r2 +z2)1/2, z1 = z −z0, z2 = z +z0,
ϕ1(t, r, z2) = γ
∞
0
ψ(t, r, z2) = γ
∞
0
kJ0(kr) 1
2πi
kJ1(kr) 1
2πi
l
l
F(kγξ)X(ξ) e−kg1(ξ) dξ dk,
F(kγξ)Y (ξ) e−kg2(ξ) dξ dk,
(2.4)
z=0
,
(2.3)
Стр.3