ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, NУДК
519; 533.6
НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ И ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
В. М. Ковеня
Институт вычислительных технологий СО РАН, 630090 Новосибирск
Сформулированы основные проблемы и тенденции развития математического моделирования
— нового научного направления в исследовании различных процессов и явлений.
Анализ состояния и перспектив развития проведен на примере задач механики
сплошной среды. Основное внимание уделено двум этапам моделирования — выбору
физико-математических моделей механики сплошной среды и численным алгоритмам
их решения.
Введение. Математическое моделирование как новый способ исследования и получения
новых знаний сформировалось в 70-х гг. XX в. на основе широкого применения математических
методов при решении теоретических и практических задач естествознания. Его
создание и развитие обусловлено появлением электронно-вычислительных машин, способных
производить арифметические и логические вычисления со скоростью, недоступной для
человека. Необходимость решения все более сложных задач науки, техники и народного
хозяйства потребовала разработки и обоснования математических моделей, отражающих
основные закономерности исследуемых явлений, и создания экономичных численных алгоритмов
их решения. Эффективная реализация этих алгоритмов в свою очередь не только
потребовала разработки и создания новых ЭВМ, но и стимулировала исследования
по созданию новых языков программирования, операционных систем и систем поддержки
программного обеспечения, а также разработку новых подходов в программировании
и информационных технологиях. Все это позволило перейти от использования ЭВМ как
скоростного вычислителя к системе моделирования, включающей весь процесс от разработки
математических моделей, численных алгоритмов, программирования до создания
комплексов и пакетов программ для решения классов задач, анализа результатов, вывода,
хранения, что является содержанием нового научного направления — математического
моделирования [1–11].
С возникновением нового направления исследований появились проблемы, от решения
которых зависит его развитие. Математические модели и алгоритмы, программы и комплексы
программ, ЭВМ и системы поддержки для решения задач являются элементами
моделирования. Их роль и место могут быть правильно оценены лишь во всей цепочке моделирования,
которую назовем технологической (см. [11]). Под технологической цепочкой
моделирования будем понимать совокупность ее элементов, выполняемых в определенной
последовательности и составляющих полный цикл. Разумеется, для различных областей
исследования эти элементы могут различаться, поэтому в качестве основы технологической
цепочки должны быть выбраны общие для всех областей моделирования элементы. В
соответствии с современными представлениями процесс моделирования может быть представлен
в виде следующей последовательности: исследуемое явление — математические
модели — численные алгоритмы — программирование — ЭВМ — вычисления и их анализ
— обработка и хранение результатов, дополняющей известную триаду математического
моделирования модель — алгоритм — программа [2, 4, 11]. Все элементы техноло◦
3
3
Стр.1
4
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N◦
3
гической цепочки, очевидно, взаимосвязаны, и эта связь нелинейна, а изменение одного из
ее элементов может привести к изменению не только последующих, но и предыдущих элементов.
До начала моделирования исследователь явно или неявно проводит анализ всей
цепочки моделирования исходя из современных представлений об исследуемом явлении
или процессе, наличия ресурсов ЭВМ и ее возможностей, наличия численных алгоритмов
и т. д. Конечно, для некоторых изучаемых явлений и классов решаемых задач отдельные
элементы цепочки могут быть опущены. В качестве примера приведем известное представление
Н. Н. Яненко о разностной схеме (численном алгоритме) как математической
модели для описания физического явления. Создание более полных математических моделей,
способных адекватно описывать более сложные исследуемые процессы, и разработка
более точных и эффективных численных алгоритмов приводили к необходимости создания
ЭВМ все большей производительности. Это могло быть достигнуто не только за счет
совершенствования элементной базы, но и главным образом за счет новых архитектур
ЭВМ, использующих принципы многопроцессорности и параллельности вычислений. В
свою очередь эти архитектуры накладывают определенные требования на численные алгоритмы,
большинство из которых созданы в эпоху однопроцессорных ЭВМ, в которых
вычисления проводились последовательно. Новые архитектуры ЭВМ требуют создания
новых численных алгоритмов и пересмотра существующих численных методов с целью их
адаптации к этим архитектурам.
В настоящее время можно утверждать, что математическое моделирование наряду
с физическим и натурным экспериментами является основным способом исследования и
получения новых знаний в различных областях естествознания. Можно ожидать, что его
роль в дальнейшем возрастет, но оно не заменит физический или натурный эксперимент,
так как опыт всегда остается основой исследования. Следует ожидать сближения различных
форм исследования, дополняющих друг друга. Активное использование математического
моделирования в различных областях естествознания и человеческой деятельности
обусловлено многими факторами, основными из которых являются следующие:
—усложнение класса исследуемых задач, для изучения которых необходимо создание
новых дорогостоящих экспериментальных установок или модельных объектов (в ряде случаев
численное моделирование этих задач может быть получено при меньших финансовых
затратах);
— большие энергетические и финансовые затраты на обслуживание экспериментальных
установок и объектов;
— необходимость решения экологических, социальных и других проблем;
— невозможность проведения физического (химического, экономического и т. д.) или
натурного моделирования в ряде областей исследования (в этом случае математическое
моделирование является единственно возможным).
К указанным факторам следует добавить возможность сокращения сроков исследования
и получения результатов, а также возможность их многократного и быстрого повторения
или уточнения, хранения и т. д. Развитие математического моделирования приводит
к созданию автоматизированных систем для управления производством, что позволит
резко увеличить производительность труда и избежать влияния субъективного “человеческого”
фактора при принятии решений. Таким образом, математическое моделирование
становится основным способом исследования и получения новых знаний. В то же время результаты
математического моделирования находят широкое применение в производстве и
других областях человеческой деятельности (например, при создании систем автоматического
проектирования, экспертных систем и т. д. [12]). В данной работе рассматриваются
некоторые тенденции развития математического моделирования. Поскольку охватить все
области его применения невозможно, ниже сделан акцент на задачах механики сплошной
Стр.2
В. М. Ковеня
5
среды. В этой области исследования математическое моделирование получило наибольшее
распространение как в силу невозможности получения решений на основе других подходов,
так и в силу важности этого класса задач для развития производства (см., например,
[1–12]). Как отмечено выше, эффективность математического моделирования может быть
правильно оценена при рассмотрении всей технологической цепочки. Поэтому остановимся
на анализе состояния и развития отдельных ее элементов и их взаимодействия. Основное
внимание уделяется выбору моделей и численных алгоритмов.
1. Физико-математические модели. Для задач механики сплошных сред в наиболее
полной постановке физико-математические модели могут быть описаны интегральными
законами сохранения
∂
∂t
V
W0 dV +
S
W ds =
V
F dV,
(1.1)
выражающими связь между изменением во времени в замкнутом объеме V некоторых
величин (потоков) и их изменением при переходе через границы S, а также взаимодействие
потоков с внешними источниками или стоками. Интегральные законы сохранения
(например, массы, импульсов и энергии для моделей сплошной среды) являются наиболее
общей формой описания движения сред и справедливы как для непрерывных, так и для
разрывных решений. Наряду с интегральной формой используется их дифференциальное
представление
∂W0
∂t +divW = F,
полученное из (1.1), но справедливое лишь для непрерывных решений.
Многообразие и многопараметричность исследуемых задач и их математических постановок,
разномасштабность процессов приводят к цепочке физико-математических моделей,
каждая из которых получена при определенных предположениях о характере изучаемого
явления и описывает основные его закономерности. Особенностью такого подхода
является и многообразие уравнений, описывающих эти модели. Полученные уравнения
могут быть уравнениями различного типа (гиперболическими, параболическими, эллиптическими
или уравнениями переменного типа), что приводит к различным постановкам
начальных и краевых задач. Более того, при исследовании одного класса задач тип уравнений
может меняться в зависимости от характера решения. Например, стационарные
уравнения газовой динамики являются уравнениями эллиптического типа для дозвуковых
скоростей и гиперболического для сверхзвуковых, т. е. в отдельных подобластях расчетной
области необходимо решать уравнения различного типа, что накладывает дополнительные
требования на применяемые численные методы.
Большинство процессов в механике жидкости и газа являются нелинейными и эволюционными,
и как следствие эти же свойства присущи описываемым их системам уравнений.
Свойства таких уравнений изучены недостаточно, для большинства задач не доказаны
теоремы существования и единственности, более того, их решения могут быть
неединственными и разрывными даже при гладких начальных данных (см. [10]). Переход
к многомерным задачам и усложнение расчетных областей (рассмотрение реальных
геометрий) вносит дополнительные трудности в их постановку. При отсутствии строгих
доказательств существования и единственности решений всегда остается открытым
вопрос о соответствии физико-математической модели исследуемому явлению. При недостаточной
информации об исследуемом процессе возникает необходимость рассмотрения
различных моделей, учитывающих основные закономерности изучаемого явления для различных
диапазонов основных параметров. Таким образом, выбор и формулировка физикоматематических
моделей становится многопараметрической задачей, решение которой
Стр.3