Прикладная механика и техническая физика №6 2010 (352,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2010. Т. 51, NУДК 532.59 МЕТОД ФУРЬЕ В ЗАДАЧЕ О МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ СОУДАРЯЮЩИХСЯ СТРУЙ Е. А. Карабут Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск E-mail: karabut@hydro.nsc.ru Исследуются малые нестационарные возмущения решения известной задачи о стационарном соударении с одинаковой скоростью двух плоских струй идеальной несжимаемой жидкости. Прямыми вычислениями найден дискретный спектр линейной задачи. Показано, что метод Фурье неприменим, поскольку собственные функции не ограничены. Ключевые слова: идеальная несжимаемая жидкость, свободная поверхность, устойчивость в линейном приближении, метод разделения переменных, численное определение спектра. Введение. Одной из первых работ, посвященных изучению устойчивости плоских стационарных струйных течений в линейном приближении, является работа [1], в которой исследованы на устойчивость известные классические течения: кавитационное обтекание пластины; соударение двух струй одинаковой толщины; истечение жидкости из щели, образованной двумя плоскостями; полый вихрь. Анализ этих течений основан на возможности представления комплексного потенциала возмущенного течения в виде w = G1 eλt +G2 e¯ λt, (1) где t—время; функции G1,G2 не зависят от времени. В работе [1] возмущения называются устойчивыми, если Reλ < 0, и неустойчивыми, если Reλ > 0. Возмущения, для которых Reλ = 0, названы нейтральными. Основной результат работы [1] состоит в определении собственных значений λ. Представление (1) использовалось при решении различных струйных задач (см., например, [2–6]). В то же время существует ряд работ, в которых либо выражается некоторое сомнение в возможности применения (1), либо утверждается ошибочность этого представления. Например, в работе [2] предлагается относиться “с известной осторожностью” к выводам [1] об устойчивости течений, поскольку асимптотическая зависимость возмущений от t (при t → ∞) необязательно должна быть экспоненциальной. В работе [7] утверждается, что применение метода Фурье к решению вопроса об устойчивости без анализа класса начальных возмущений может привести к упущениям и даже ошибкам. В качестве примера ошибочной работы названа [1]. При исследовании вопросов устойчивости следует помнить о задаче с начальными данными. Примеры ошибок метода Фурье, когда поиск решения в виде линейной суперпозиции собственных функций вида (1) не дает правильного ответа, можно найти в работе [8]. Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (грант № НШ-2260.2008.1). ◦ 6 3

Стр.1

4 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2010. Т. 51, N◦ 6 В данной работе выясняется возможность применения представления (1) в стационарной задаче о соударении двух струй. Несмотря на использование (1), корректная постановка спектральной задачи для нахождения λ в литературе отсутствует. Первая часть статьи посвящена математической постановке спектральной задачи. Формулировка этой задачи достаточно сложна, хотя ее физическая постановка проста и естественна: комплексная скорость возмущенного течения должна быть ограниченной функцией во всей области течения. Иными словами, величина λ должна подбираться таким образом, чтобы собственные функции (1) были ограничены. Получение аналитического решения спектральной задачи вследствие ее сложности затруднено, поэтому во второй части настоящей работы полученная спектральная задача решается численно. Стационарное соударение струй. Рассмотрим известную классическую задачу о стационарном соударении двух плоских струй идеальной несжимаемой жидкости (рис. 1). Две струи движутся под некоторым углом навстречу друг другу с единичной скоростью. В результате их взаимодействия образуются две расходящиеся струи. На свободной поверхности сформировавшегося струйного течения поддерживается нулевое давление, поверхностное натяжение отсутствует. Пусть aj = eiθj —комплексные скорости струй. Здесь j — номер струи. Аргумент θj характеризует угол, под которым направлена j-я струя. Считаем, что j = 1, 3 соответствуют сходящимся струям, а j = 2, 4—расходящимся. Обозначим через hj ширину j-й струи (j = 1, 4 ), взятую с положительным знаком, если струи являются сходящимися, и с отрицательным знаком, если струи являются расходящимися (h1 > 0, h3 > 0, h2 < 0, h4 < 0). Поместим начало декартовой системы координат X, Y (Z = X + iY ) в критической точке, т. е. в точке, в которой скорость жидкости равна нулю. Конформное отображение единичного круга, расположенного в некоторой вспомогательной плоскости ζ, на область течения (см. рис. 1), а также комплексная скорость U, выраженная через ζ, даются формулами [9] Z(ζ) = 1 π  j=1 4 hj aj ln1− aj ζ , U(ζ) = ζ. (2) Точки aj, расположенные на единичной окружности |ζ| = 1, являются прообразами бесконечно удаленных точек струй в плоскости Z. Отметим, что решение задачи соударения двух сходящихся струй с заданными па2 3 Z a2 1 p=0 Z(z) a4 1 4 a1 Рис. 1. Конформное отображение Z(ζ) круга единичного радиуса во вспомогательной плоскости ζ на область течения в плоскости Z в случае стационарного взаимодействия струй: 1, 3—сходящиеся струи; 2, 4—расходящиеся струи; стрелки—направления скорости струй z a3

Стр.2