П. Н. Грименицкий, А. Н. Лабутин, Б. А. Головушкин
РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ НАСТРОЙКИ
ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ
Учебное пособие для студентов специальности
«Автоматизация технологических процессов и производств»
Информационно-измерительный
канал
Информационно-управляющий
канал
Канал
Иваново
2008
Стр.1
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Ивановский государственный химико-технологический университет
П. Н. Грименицкий, А. Н. Лабутин, Б. А. Головушкин
РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ НАСТРОЙКИ ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ
Учебное пособие для студентов специальности
«Автоматизация технологических процессов и производств»
Иваново 2008
1
Стр.2
УДК 658.512
Грименицкий, П. Н. Расчет параметров настройки цифровых регуляторов:
учеб. пособие для студентов специальности «Автоматизация
технологических процессов и производств» / П. Н. Грименицкий, А. Н. Лабутин,
Б. А. Головушкин; Иван. гос. хим.-технол. ун-т. – Иваново, 2008. – 48 с.
ISBN 978-5-9616-0295-1
В учебном пособии изложены общие вопросы теории дискретных импульсных
и цифровых систем управления, приведены примеры расчета систем
управления, ориентированных на различные критерии качества их работы.
Предназначено для студентов специальности «Автоматизация технологических
процессов и производств» очной и заочной форм обучения.
Табл. 3. Ил. 20. Библиогр.: 7 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Ивановского
государственного химико-технологического университета.
Рецензенты:
«Центр информационных технологий» В.-Волжского филиала ОАО «Центртелеком»
г. Иваново; кандидат технических наук В. Д. Таланов (Ивановский государственный
энергетический университет).
ISBN 978-5-9616-0295-1
© Грименицкий П. Н.,
Лабутин А. Н.,
Головушкин Б. А., 2008
© Ивановский государственный
химико-технологический
университет, 2008
2
Стр.3
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие предназначено для использования в ходе изучения следующих
дисциплин: «Теория автоматического управления», «Микропроцессорные
информационно-управляющие системы», «Автоматизация технологических
процессов и производств» студентами специальности «Автоматизация
технологических процессов и производств» очной и заочной форм обучения.
В учебном пособии изложены общие вопросы теории дискретных и импульсных
цифровых управляющих систем, приведены примеры расчета систем
управления, ориентированных на различные критерии качества их работы.
Подробно описан порядок расчета робастных систем с заданным запасом устойчивости.
Цель
учебного пособия – познакомить и научить студентов расчету дискретных
и импульсных систем управления.
3
Стр.4
1. Динамические системы и их характеристики
Любая динамическая система (ДС) преобразовывает входной сигнал
(входное воздействие) x(t) в выходной сигнал (реакцию) y(t) (рис. 1).
Рис. 1. Физическая структура динамической системы
На языке математики это означает, что каждой динамической системе может
быть поставлен в соответствие оператор A, который это преобразование и
осуществляет (рис. 2).
Рис. 2. Математическая структура динамической системы
Это первый постулат математического моделирования.
Второй постулат гласит, что математическая модель должна быть адекватна
динамической системе.
Третий постулат говорит о том, что если математическая модель адекватна
динамической системе, то весь анализ этой системы может проводиться на
уровне математической модели:
y(t) A[x(t )].
=
(1. 1)
Уравнение (1.1) называется операторным уравнением.
Оператор А – это символическая запись совокупности математических и
логических правил, которые ставят в соответствие входной функции выходную
функцию.
Пример: пусть поведение ДС описывается дифференциальным уравнением
(ДУ), тогда совокупность правил, с помощью которых мы решаем это уравнение,
и будет оператором.
Будем пользоваться также терминами-синонимами:
x(t) – вход, входное воздействие, входная функция.
4
Стр.5
y(t) – выход, выходная функция, реакция движения.
ДС делятся на два класса:
1) линейные;
2) нелинейные.
ДС называется линейной, если для неё справедлив принцип суперпозиции:
A [∑ k k
a x (t) =] ∑ ka A x (t)] .
[ k
Этот принцип читается так: реакция ДС на сумму входных воздействий
равна сумме реакций на каждое входное воздействие в отдельности.
ДС называется нелинейной, если для нее несправедлив принцип суперпозиции.
В
математике известно выражение:
x(t) = ∫ x( )τ δ(t − τ)d ,
+∞
−∞
τ
где δ(t-τ) – смещенная функция Дирака.
Операцию смещения поясним на примере функции 1(t) (рис. 3).
1(t)
1(t-τ)
(1. 2)
τ
τ
Рис. 3. Графическая интерпретация операции смещения
Таким образом, операция смещения означает сдвиг исходной функции
вправо от точки t=0 без изменения её формы. Функция Дирака является обобщённой
функцией со свойствами:
5
Стр.6
⎧
⎪
⎨
⎩
⎪
⎪
⎪
δ(t) = 0 при t ≠ 0,
δ(t) = ∞ при t = 0,
∫ (t)dt
+∞
δ
−∞
Функцию Дирака можно интерпретировать как предельный случай прямоугольного
импульса (рис. 4).
δ(t)
=1 .
(1. 4)
(1. 3)
1
Δ Δ
0
Любой импульс характеризуется:
• длительностью τи = ∆,
• амплитудой
Аи = 1/∆,
• площадью (интенсивностью) Sи = Аиּτи = 1.
Устремим ∆ → 0,
τи → 0,
Аи → ∞,
Sи → 1.
В связи с этой интерпретацией функцию Дирака называют единичным
импульсом, который имеет бесконечно малую длительность, бесконечно большую
амплитуду и площадь равную единице.
Если единичный импульс δ(t-τ) – это элементарный импульс с единичной
площадью, то x(τ)δ(t-τ) – это элементарный импульс с площадью х(τ). Тогда
формула (1. 2) дает разложение исходной функции x(t) на элементарные импульсы
с площадью х(τ).Графики элементарных импульсов представляют собой
стрелки длиной х(τ) (рис. 5).
6
t
Рис. 4. Единичный импульс
Стр.7
х(t)
Рис. 5. Разложение исходной функции х(t) на элементарные импульсы
Ввиду важности формулы 1. 2 докажем её.
Подынтегральная функция всюду равна нулю, кроме точки τ=t [см. свойство
(1. 3)], тогда:
x(t) = ∫ x( )τ δ(t − τ)dτ = x(t) ∫δ(t − τ)dτ = x(t) .
+∞
−∞
линейных ДС:
y(t) A x(t)
= []= A ∫ x( )τ δ(t − τ)dτ = ∫ x(τ)A (t − τ)] .d
⎣
⎡
⎢
⎢
цией .
g(t,τ = δ − τ .
) A (t
[
y(t) =
+∞
−∞
)]
С учётом обозначения (1. 5) запишем:
∫
g(t,τ = 0 при τ > ,
)
(1. 5)
+∞
−∞
⎦
⎤
⎥
⎥
+∞
−∞
[δ
τ
Реакция ДС на смещенный единичный импульс называется весовой функ+∞
−∞
Вспомним
теперь о принципе суперпозиции, который справедлив для
g(t,τ)x(τ)dτ.
(1. 6)
Весовая функция g(t) обладает следующим фундаментальным свойством:
t
так как τ – момент действия импульса, а t – текущее время (рис. 6).
7
Стр.8
Рис. 6. Графическая иллюстрация свойств весовой функции
Это фундаментальное свойство весовой функции определяет физическую
возможность ДС. При учете физической возможности формула (1. 6) запишется:
t
y(t)
= ∫g(t,τ)x(τ)dτ.
−∞
(1. 7)
Формула (1. 7) отражает тот физический факт, что входное воздействие
действует на ДС бесконечно долго, то есть начальное состояние системы находится
бесконечно далеко от текущего времени t. В этом случае ДС теряет память,
так как она забывает своё начальное состояние. Поэтому формула (1. 7)
описывает установившиеся процессы в ДС. Чтобы вернуть ДС память надо положить
x(t) = 0 при t<0.
t
y(t) = ∫g(t,τ)x(τ)dτ .
0
(1. 8)
Формула (1. 8) описывает переходные процессы в ДС. Переходный процесс
уже зависит от начальных условий.
По степени абстракции математической модели можно привести следующую
классификацию ДС:
1) математически допустимые [формула (1. 6)];
2) физически допустимые [формулы (1. 7) и (1. 8)];
3) физически возможные;
4) реальные ДС.
Все линейные ДС делятся на два больших класса:
8
Стр.9
• стационарные;
• нестационарные.
Линейная ДС называется нестационарной, если g(t,τ) зависит от обоих
аргументов и g(t,τ
1)≠g(t,τ2) при любых τ1 и τ2, кроме τ1 = τ2 (рис. 7).
g(t,τ)
1
τ1
τ2
τ3
t
Рис. 7. Нестационарная линейная динамическая система
Нестационарные ДС описываются линейными ДУ с переменными коэффициентами.
Именно переменные коэффициенты и обеспечивают нестационарность.
Линейная
ДС называется стационарной, если g(t,τ1)=g(t,τ2), то есть g(t,τ)
не зависит от τ, g(t,τ) = g(t-τ) (рис. 8).
g(t,τ)
1
τ1
τ2
τ3
t
Рис. 8. Стационарная линейная динамическая система
Из рисунка следует, что для стационарной ДС g(t,τ) можно определить
при τ = 0 , а затем определить операцию смещения g(t-τ). В связи с этим соответствующие
формулы перепишутся:
t
+∞
y(t) = ∫g(t − τ)x(τ)dτ = ∫ g(τ)x(t − τ)dτ.
−∞
0
Второе равенство в формуле (1. 9) требуется доказать.
9
(1. 9)
Стр.10