Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 11-й класс : углублённый уровень (5000,00 руб.)

Стр.3

Стр.382

Стр.383

Стр.384

Стр.385

УДК 373.167.1:514+514(075.3) ББК 22.151я721 П64 Учебник допущен к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования организациями, осуществляющими образовательную деятельность, в соответствии с Приказом Министерства просвещения Российской Федерации № 254 от 20.05.2020 (в редакции приказа № 766 от 23.12.2020). П64 Потоскуев, евгений Викторович. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия : 11-й класс : углублённый уровень : учебник / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. — 10-е изд., стер. — Москва : Просвещение, 2023. — 384 с. : ил. ISBN 978-5-09-110488-2. Учебник является частью УМК для 10—11 классов, предназначенного для изучения предмета на углублённом уровне. Обязательный материал структурирован по главам: преобразования пространства, многогранники и фигуры вращения. Есть в учебнике и дополнительный материал. Высокие результаты усвоения геометрии достигаются решением большого количества разнообразных задач, дифференцированных по уровню сложности, из задачника. УДК 373.167.1:514+514(075.3) ББК 22.151я721 Учебное издание Потоскуев Евгений Викторович Звавич Леонид Исаакович и начала математического анализа, геометрия Математика: алгебра 11 класс. Углублённый уровень Учебник геоМетриЯ Редактор Т. С. Зельдман. Художественный редактор А. А. Шувалова Технический редактор И. В. Грибкова Центр математики, физики и астрономии Ответственный за выпуск П. А. Бессарабова Подписано в печать 25.08.2023. Формат 60 Ч 90 /16. Гарнитура «Школьная». Усл. печ. л. 24,1. Тираж Компьютерная вёрстка С. Л. Мамедовой. Корректор Г. И. Мосякина экз. Заказ № . Российская Федерация, 127473, г. Москва, ул. Краснопролетарская, д. 16, стр. 3, помещение 1Н. Акционерное общество «Издательство «Просвещение». Адрес электронной почты «Горячей линии» — vopros@prosv.ru. ISBN 9785091104882 . © АО «Издательство «Просвещение», 2022 © Художественное оформление. АО «Издательство «Просвещение», 2022 Все права защищены © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ» Б

Стр.3

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ ...................................... 3 Глава 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА § 1. Отображения пространства ....................... 5 § 2. Преобразования пространства..................... 8 2.1. Определение преобразования. Центральная симметрия пространства .......................... 8 2.2. Обратное преобразование ...................... 11 2.3. Композиция преобразований ................... 12 § 3. Движения пространства. Общие свойства движений............................ 14 3.1. Определение движения. Композиция движений ...................................... 14 3.2. Общие свойства движений ..................... 16 3.3. О движениях первого и второго рода в пространстве .................................. 22 3.4. О равенстве фигур в пространстве ............... 23 3.5. Свойства центральной симметрии пространства . . . 25 § 4. Симметрия относительно плоскости .................. 29 4.1. Определение симметрии относительно плоскости ...................................... 29 4.2. Симметрия относительно плоскости в координатной форме ............................ 31 4.3. Симметрия относительно плоскости — движение пространства ........................... 32 4.4. Свойства симметрии относительно плоскости ..... 32 § 5. Параллельный перенос. Скользящая симметрия .............................. 33 5.1. Определение параллельного переноса ............ 33 5.2. Параллельный перенос в координатах ........... 34 5.3. Свойства параллельного переноса ............... 35 5.4. Скользящая симметрия ....................... 37 § 6. Поворот вокруг оси. Осевая симметрия. Зеркальный поворот. Винтовое движение ............... 38 6.1. Определение поворота вокруг оси ............... 38 6.2. Свойства поворота вокруг оси и осевой симметрии 43 6.3. Зеркальный поворот и винтовое движение ........ 47 § 7. Взаимосвязь различных движений пространства ..... 48 7.1. Композиция двух симметрий относительно плоскости ...................................... 48 7.2. Виды движений пространства .................. 50 . © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ» Б

Стр.382

382 Приложения § 8. Гомотетия и подобие пространства ................. 55 8.1. Определение гомотетии пространства ............ 55 8.2. Формулы и свойства гомотетии пространства ..... 57 8.3. Подобие пространства. Разложение подобия в композицию гомотетии и движения................ 61 8.4. О подобии фигур в пространстве ................ 64 Задания для работы с интернет-ресурсами............ 66 Глава 2. МНОГОГРАННИКИ § 9. Понятие многогранника .......................... 68 9.1. Геометрическое тело .......................... 68 9.2. Многогранник и его элементы .................. 72 9.3. Развёртка ................................... 75 9.4. Свойства выпуклых многогранников ............ 79 § 10. Объёмы многогранников......................... 82 10.1. О понятии объёма тела ....................... 82 10.2. Объём прямоугольного параллелепипеда ........ 84 § 11. Призма ....................................... 86 11.1. Определение призмы. Виды призм ............. 86 11.2. Боковая и полная поверхности призмы.......... 91 11.3. Объём призмы .............................. 95 § 12. Параллелепипед ............................... 97 12.1. Определение и свойства параллелепипеда........ 97 12.2. Объём параллелепипеда ...................... 105 § 13. Трёхгранные и многогранные углы ................ 106 13.1. Понятие о многогранном угле. Трёхгранный угол ........................................... 106 13.2. Теорема косинусов и теорема синусов для трёхгранного угла ............................ 109 § 14. Пирамида ..................................... 111 14.1. Определение пирамиды и её элементов .......... 111 14.2. Некоторые виды пирамид..................... 112 14.3. Правильная пирамида ....................... 114 14.4. Площади боковой и полной поверхностей пирамиды ...................................... 119 14.5. Свойства параллельных сечений пирамиды ...... 122 14.6. Усечённая пирамида ......................... 123 14.7. Объём пирамиды ............................ 125 14.8. Об объёме тетраэдра ......................... 128 14.9. Объём усечённой пирамиды ................... 130 § 15. Правильные многогранники ..................... 131 15.1. Определение правильного многогранника ....... 134 15.2. Пять типов правильных многогранников ........ 134 Задания для работы с интернет-ресурсами............ 144 . © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ» Б

Стр.383

383 Оглавление Глава 3. ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ § 16. Фигуры вращения .............................. 146 16.1. Поверхность вращения ....................... 146 16.2. Тело вращения.............................. 148 § 17. Цилиндр ...................................... 150 17.1. Определение цилиндра и его элементов.......... 150 17.2. Свойства цилиндра .......................... 152 17.3. Развёртка и площадь поверхности цилиндра ..... 154 17.4. Призмы, вписанные в цилиндр и описанные около цилиндра.................................. 156 17.5. Объём цилиндра ............................ 160 § 18. Конус......................................... 162 18.1. Определение конуса и его элементов ............ 162 18.2. Сечения конуса ............................. 163 18.3. Касательная плоскость к конусу ............... 165 18.4. Изображение конуса ......................... 166 18.5. Развёртка и площадь поверхности конуса ....... 166 18.6. Свойства параллельных сечений конуса ......... 168 18.7. Вписанные в конус и описанные около конуса пирамиды ................................ 170 18.8. Усечённый конус ............................ 172 18.9. Поверхность усечённого конуса ................ 174 18.10. Объёмы конуса и усечённого конуса ........... 175 § 19. Шар и сфера ................................... 176 19.1. Определения шара, сферы и их элементов ....... 176 19.2. Изображение сферы ......................... 178 19.3. Уравнение сферы............................ 181 19.4. Пересечение шара и сферы с плоскостью ........ 182 19.5. Плоскость, касательная к сфере и шару ......... 186 19.6. Вписанные и описанные шары и сферы ......... 188 19.7. Площади поверхностей шара и его частей ....... 192 19.8. Объёмы шара и его частей .................... 198 Задания для работы с интернет-ресурсами ........... 204 ДОПОЛНЕНИЯ 1. О применении определённого интеграла для нахождения объёмов тел вращения................. 206 1.1. Формула объёма тела вращения................. 206 1.2. Объёмы конуса, шара и его частей . . . . . . . . . . . . . . . 209 2. О симметриях правильных многогранников ........... 216 2.1. О самосовмещениях фигуры.................... 216 2.2. Об элементах симметрии правильного многогранника. Двойственные правильные многогранники .................................. 220 2.3. Группа симметрий правильного тетраэдра ........ 222 . © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ» Б

Стр.384

384 Приложения 2.4. Группа симметрий куба ....................... 223 2.5. Группа симметрий правильного икосаэдра ........ 225 3. О поверхностях второго порядка .................... 227 3.1. Поверхности вращения в координатах ........... 227 3.2. Поверхности вращения второго порядка.......... 229 3.3. Линии второго порядка как плоские сечения конической поверхности .......................... 240 4. О векторном произведении двух векторов ............. 246 5. O различных ветвях геометрии...................... 256 5.1. Об элементарной геометрии .................... 258 5.2. Об аналитической геометрии ................... 263 5.3. О дифференциальной геометрии ................ 272 5.4. О проективной геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 5.5. O неевклидовой геометрии Лобачевского ......... 305 5.6. О сферической геометрии ...................... 324 5.7. О топологии ................................. 329 6. Об аксиоматическом построении геометрии ........... 343 6.1. О построении трёхмерной евклидовой геометрии по Гильберту ........................... 344 6.2. Об обосновании трёхмерной евклидовой геометрии по Вейлю .............................. 348 Задания для работы с интернет-ресурсами............ 352 ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1. Список основных теорем, изучаемых в 11 классе ............................... 354 Приложение 2. Формулы планиметрии ................. 358 Приложение 3. Формулы стереометрии ................. 364 ТЕМЫ ПРОЕКТОВ .................................... 372 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ............................ 373 СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ............. 378 СПИСОК ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСОВ ........................ 380 . © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ» Б

Стр.385