УДК 530.17:531.111(075.8)
К 777
Рецензенты:
д-р техн. наук, профессор И.П. Олегин
д-р техн. наук, профессор А.А. Кураев
Работа подготовлена на кафедре прочности летательных аппаратов
для студентов II курса очной и IV курса заочной формы обучения
механико-технологического факультета
К 777 Методы подобия в механике. Анализ размерностей: учебное
пособие / Н.В. Крамаренко. – Новосибирск: Изд-во НГТУ,
2020. – 212 с.
Крамаренко Н.В.
ISBN 978-5-7782-4087-2
Пособие написано на основе опыта чтения этого курса автором на
механико-технологическом факультете НГТУ в течение восьми лет
(с 2011 по 2018 год) и является продолжением ранее изданной части
«Анализ уравнений».
Книга предназначена для двух аудиторий: для студентов младших
курсов бакалавриата и студентов магистратуры. Основное содержание
написано для первой аудитории, поэтому здесь отсутствуют тяжеловесные
строгие математические доказательства теорем подобия. Для
наглядности и простоты изложения сначала приводятся примеры и
только затем дается общая схема применения метода. Если для того,
чтобы разобраться в теории, излагаемой в первой части, было необходимо
знать курсы теоретической механики и сопротивления материалов,
то для понимания материала второй части достаточно только
школьных знаний.
Для второй аудитории – студентов магистратуры, готовящихся к
работе по проведению экспериментов, в книгу включены главы с историческими
сведениями, обзор литературы по способам вывода критериев
подобия, подробный список первоисточников и ссылки на их
электронные копии.
Содержание пособия нацелено на практическое применение различных
методов подобия в реально возникающих задачах для твердых
тел, для жидкости и газа. Порядок рассуждений и алгоритмы действий
при решении практических задач сопровождаются рисунками и таблицами
с логическими схемами.
УДК 530.17:531.111(075.8)
ISBN 978-5-7782-4087-2
© Крамаренко Н.В., 2020
© Новосибирский государственный
технический университет, 2020
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ..................................................................................................... 7
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................. 9
В1. Механика ..................................................................................................... 9
В2. Теория подобия ......................................................................................... 10
В3. Прогнозы на основании чисел подобия .................................................. 11
В4. Историческая справка .............................................................................. 12
В5. О видах подобия ....................................................................................... 15
В6. Термины .................................................................................................... 16
1. РАЗМЕРНОСТИ ............................................................................................... 19
1.1. Единицы измерения физических величин ............................................. 19
1.2. Размерные и безразмерные величины .................................................... 20
1.3. Основные и производные единицы измерения ..................................... 22
1.4. Формула размерности .............................................................................. 23
1.5. Системы единиц измерения .................................................................... 25
1.6. Классы систем единиц измерения .......................................................... 27
1.7. Пересчет в другие размерности .............................................................. 29
2. ЧЕМ ПОЛЕЗЕН АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ (АР) ...................................... 31
2.1. АР помогает уточнить забытую формулу .............................................. 31
2.2. АР помогает вывести неизвестную формулу......................................... 33
2.3. АР помогает сократить количество экспериментов .............................. 35
2.4. АР помогает выявить скрываемую информацию .................................. 40
2.5. Выводы по примерам ............................................................................... 44
3. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ АНАЛИЗОМ РАЗМЕРНОСТЕЙ ......................... 45
3.1. Три теоремы подобия ............................................................................... 45
3.2. Примеры для обычных размерностей .................................................... 47
3.2.1. Математический маятник ............................................................... 47
3.2.2. Физический маятник ....................................................................... 51
3.2.3. Движение жидкости в трубе ........................................................... 56
3
Стр.3
3.3. Векторные размерности ........................................................................... 61
3.3.1. Пример для векторных длин ........................................................... 62
3.3.2. Другие векторные размерности ...................................................... 68
3.4. Выводы по примерам ............................................................................... 70
3.5. Общая методика определения чисел подобия ....................................... 70
4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ В СРАВНИТЕЛЬНОМ АНАЛИЗЕ
И МОДЕЛИРОВАНИИ.................................................................................... 72
4.1. Общая схема применения методов подобия .......................................... 72
4.2. Общая методика сравнительного анализа .............................................. 74
4.3. Общая методика моделирования ............................................................ 75
5. СПОСОБЫ ВЫВОДА ЧИСЕЛ ПОДОБИЯ ИЗ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ
НА ПРИМЕРЕ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИЯХ ГРУЗА ................... 78
5.1. Способ Р1 – комбинации переменных, или способ непосредственных
рассуждений, или способ Бертрана ...................................... 80
5.2. Ранние способы Р2 – Апелля, Федермана, Толмэна, Ипсена ............... 81
5.3. Способ Р3 – преобразования формул размерностей в степенные
комплексы ................................................................................................ 81
5.4. Способ Р4 – частичных комплексов, или способ предварительной
группировки, или способ нулевых размерностей, или способ
Букингема .......................................................................................... 82
5.5. Способ Р5 – полного двустороннего комплекса, или способ Рэлея ....... 86
5.6. Способ Р6 – полного одностороннего комплекса, или способ
глобального критерия ............................................................................. 89
5.7. Способ Р7 – качественного физико-математического анализа,
или способ Морозова .............................................................................. 94
5.8. Выводы по способам Р1, Р2, Р3, Р4, Р5, Р6, Р7...................................... 97
6. ПРИМЕРЫ ПОДОБИЯ ДЛЯ МЕХАНИКИ АБСОЛЮТНО
ТВЕРДЫХ ТЕЛ ................................................................................................ 98
6.1. Закон Кеплера ........................................................................................... 98
6.1.1. Историческое введение ................................................................... 98
6.1.2. Пример 1 – гравитационная постоянная ...................................... 100
6.1.3. Пример 2 – период обращения планеты ...................................... 100
6.2. Задача Галилея – падение тела .............................................................. 103
6.2.1. Подход 1 – с учетом массы тела ................................................... 103
6.2.2. Подход 2 – без учета массы тела .................................................. 104
6.2.3. Подход 3 – с учетом массы и веса тела ........................................ 105
4
Стр.4
6.2.4. Подход 4 – с учетом скорости тела .............................................. 107
6.2.5. Выводы по примеру ....................................................................... 109
7. ПРИМЕРЫ ПОДОБИЯ ДЛЯ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ .............................................................................................. 110
7.1. Статическая жесткость и прочность ..................................................... 110
7.1.1. Задача 1 – общие условия подобия .............................................. 110
7.1.2. Задача 2 – подобие напряжений ................................................... 117
7.1.3. Задача 3 – подобие деформаций ................................................... 120
7.1.4. Выводы по примеру (задачи 1, 2, 3) ............................................. 124
7.1.5. Добавление из сопротивления материалов ................................. 125
7.2. Статический изгиб балки ....................................................................... 126
7.2.1. Подход 1 – класс размерностей LMT ........................................... 128
7.2.2. Подход 2 – класс размерностей LF .............................................. 133
7.2.3. Подход 3 – класс векторных размерностей LxLyF ....................... 135
7.2.4. Подход 4 – класс векторных размерностей LxLyLzFϴ
для поворота ................................................................................... 138
7.2.5. Подход 5 – класс векторных размерностей LxLyLzFϴ
для прогиба .................................................................................... 141
7.3. Удар ......................................................................................................... 144
8. ПРИМЕРЫ ПОДОБИЯ ДЛЯ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ ...... 150
8.1. Движение жидкости в трубе .................................................................. 150
8.2. Движение жидкости через водослив .................................................... 157
8.3. Обтекание тела газом или невесомой жидкостью ............................... 159
8.3.1. Вывод критериального уравнения ............................................... 159
8.3.2. Алгоритм проведения экспериментов ......................................... 162
8.3.3. Добавление из аэродинамики ....................................................... 163
8.4. Движение корабля с учетом волнообразования .................................. 164
8.4.1. Частичное моделирование без учета вязкости жидкости .......... 164
8.4.2. Полное моделирование с учетом вязкости жидкости ................ 167
8.4.3. Удешевление экспериментов ........................................................ 170
9. ПРИМЕРЫ ПОДОБИЯ РАЗНЫЕ .................................................................. 172
9.1. Опоздание студента ............................................................................... 172
9.2. Крупные перевозки дешевле ................................................................. 175
9.2.1. Перевозки судами .......................................................................... 175
5
Стр.5
9.2.2. Перевозки самолетами .................................................................. 180
9.2.3. Размеры двигателей ....................................................................... 181
9.3. Парадокс Рябушинского ........................................................................ 181
10. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО СПОСОБАМ ВЫВОДА ЧИСЕЛ
ПОДОБИЯ ИЗ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ ........................................... 185
10.1. Способ Р1 – комбинации переменных, или непосредственных
рассуждений, или способ Бертрана .................................................... 185
10.2. Ранние способы Р2 ............................................................................... 186
10.3. Способ Р3 – преобразования формул размерностей в степенные
комплексы ............................................................................................. 187
10.4. Способ Р4 – частичных комплексов, или способ предварительной
группировки, или способ нулевых размерностей, или способ
Букингема ............................................................................................. 187
10.5. Способ Р5 – полного двустороннего комплекса, или способ Рэлея ..... 188
10.6. Способ Р6 – полного одностороннего комплекса, или способ
глобального критерия .......................................................................... 189
10.7. Способ Р7 – качественного физико-математического анализа,
или способ Морозова ........................................................................... 190
Выводы ........................................................................................................... 190
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................... 192
З1. Общая схема применения методов подобия ......................................... 192
З2. Достоинства анализа размерностей ....................................................... 192
З3. Недостатки анализа размерностей ......................................................... 193
З4. Сопоставление анализа размерностей и анализа уравнений ............... 194
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................................................... 195
Приложение 1. Термины и определения ........................................................... 200
Приложение 2. Десятичные приставки ............................................................. 203
Приложение 3. Система единиц измерения СИ ............................................... 204
Приложение 4. Рисунки к законам Кеплера ..................................................... 210
6
Стр.6