Многосеточные структурно-алгебраические алгоритмы (250,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет Федеральное агентство научных организаций Институт вычислительного моделирования СО РАН В. В. Ефремов В. В. Шайдуров Л. В. Гилева МНОГОСЕТОЧНЫЕ СТРУКТУРНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ Монография Красноярск СФУ 2016

Стр.1

УДК 519.712.2+004.421.2 ББК 22.127+22.18 Е924 Р е ц е н з е н т ы: Г. В. Муратова, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высокопроизводительных вычислений и информационнокоммуникационных технологий Института математики, механики и компьютерных наук ФГАОУ ВПО "Южный федеральный университет"; А. В. Лапин, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической статистики Института вычислительной математики ФГАОУ ВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет" Ефремов, В. В. Е924 Многосеточные структурно-алгебраические алгоритмы : монография / В. В. Ефремов, В. В. Шайдуров, Л. В. Гилева. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2016. – 154 с. ISBN 978-5-7638-3575-5 Представлены результаты исследований в области создания эффективных вычислительных алгоритмов для решения задач математической физики многосеточными методами. Теоретическое обоснование подкреплено численными расчетами. Предназначена для научных работников, преподавателей, студентов старших курсов, магистрантов и аспирантов вузов, занимающихся численным решением задач математической физики. УДК 519.712.2+004.421.2 ББК 22.127+22.18 ISBN 978-5-7638-3575-5 -c Сибирский федеральный университет, 2016

Стр.2

Содержание Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Глава 1. Элементы теории многосеточных алгоритмов и используемые сеточные аппроксимации . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1. Общее описание многосеточных алгоритмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 1.2. Некоторые свойства итерационных процедур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3. Дискретизация уравнения диффузии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4. Дискретизация уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.5. Учет краевых условий на криволинейной границе . . . . . . . . . . . . . .40 1.6. Аппроксимация на прямоугольных адаптивных сетках . . . . . . . . 44 Глава 2. Обоснование сходимости двух вариантов алгебраического многосеточного алгоритма . . . . . . . . . . . . .52 2.1. Поточечная и матричная формулировки основного многосеточного алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2. Общая оценка сходимости многосеточного алгоритма . . . . . . . . . . 61 2.3. Оценка сходимости продольно-поперечной редукции . . . . . . . . . . . 70 2.4. Оценка сходимости квадратно-гнездовой редукции . . . . . . . . . . . . .83 Глава 3. Обоснование сходимости и вычислительные эксперименты для некоторых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.1. Сходимость алгоритма на прямоугольной составной сетке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.2. Сходимость алгоритма для аппроксимации уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.3. Сходимость в области с криволинейной границей . . . . . . . . . . . . . 107 3.4. Формулировка алгоритма и обоснование его сходимости для задачи с переменными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.5. Вычислительный эксперимент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Стр.3

4 Глава 4. Многосеточный метод с шахматным исключением неизвестных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.1. Шахматное исключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.2. Анализ Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.3. Вычислительный эксперимент для двухсеточного варианта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.4. Оценка трудоемкости многосеточного метода . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Стр.4

Предисловие В первой главе настоящей монографии изложены основные сведения о структуре многосеточных итерационных алгоритмов и системах линейных алгебраических уравнений, получаемых при дискретизации эллиптических уравнений методом конечных элементов. В параграфе 1.1 дано описание структуры и основанной на ней классификации многосеточных итерационных алгоритмов на абстрактном уровне. В параграфе 1.2 изложены вспомогательные сведения по ускорению сходимости итерационных процессов с применением свойств многочленов Чебышева, а также по спектральным свойствам энергетически эквивалентных операторов. В параграфе 1.3 изложен вывод элементарных матриц жесткости метода конечных элементов для билинейных элементов на квадратных ячейках и линейных элементов на треугольниках с последующим применением простых квадратурных формул. Спектральная эквивалентность сеточных операторов в последующем базируется на свойствах элементарных матриц жесткости, поэтому изложение их конструкции в каждом случае проводится довольно подробно. В параграфе 1.4 рассмотрены виды дискретизации по времени двумерного уравнения теплопроводности, сводящие исходную задачу к последовательности эллиптических уравнений, к которым затем применимы подходы, данные в предыдущем параграфе, для дискретизации по пространству. В параграфе 1.5 изучена ситуация с аппроксимацией краевых условий Дирихле для задачи с криволинейной границей. После дискретизации билинейными конечными элементами на регулярной квадратной сетке, покрывающей область решения, полученные узловые значения вне области исключаются с помощью линейной аппроксимации значений в гранич

Стр.5