Анализ прогиба фермы с декоративной решеткой
УДК 624.04:004
С. 1–10
DOI: 10.22227/2305-5502.2019.1.1
Анализ прогиба фермы с декоративной решеткой
М.Н. Кирсанов
Национальный исследовательский университет «МЭИ» (НИУ «МЭИ»),
111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 14
АННОТАЦИЯ
Введение. Предложена схема плоской симметричной статически определимой балочной фермы с прямолинейным
нижним поясом, стойками, разнонаправленными раскосами и полигональным очертанием верхнего пояса. Пояса
фермы прямолинейные, шарниры идеальные. Ферма относится к классу регулярных ферм, имеющих периодические
ячейки. Опорные стержни приняты недеформируемыми. Ферма равномерно нагружена по узлам нижнего пояса.
Материалы и методы. Поставлена задача вывода зависимости прогиба фермы от числа панелей в пролете. Прогиб
получается по формуле Максвелла – Мора в предположении, что все стержни имеют одинаковую жесткость. Усилия
в стержнях конструкции от действующей равномерной нагрузки и от единичной вертикальной в середине пролета
определяются методом вырезания узлов. Матрица системы линейных уравнений равновесия узлов составляется из
косинусов усилий с осями координат. Для составления системы уравнений и ее решения используется программа
символьной математики Maple. Для получения общей формулы решается ряд задач ферм с числом панелей от 2 до
29. Последовательности коэффициентов формулы прогиба имеют общие члены, для которых также методами системы
Maple с использованием специализированных операторов составляются однородные рекуррентные уравнения.
Результаты. Решения рекуррентных уравнений имеют форму полиномов с коэффициентами, зависящими от четности
числа панелей, и содержат тригонометрические функции. Построены и проанализированы графики полученных
решений. Отмечаются характерные для подобных ферм скачки прогиба и их немонотонный характер. Показано, что
при фиксированной, не зависящей от числа панелей, длине пролета и суммарной нагрузке относительный прогиб с
увеличением числа панелей сначала падает, затем меняется мало.
Выводы. Методами системы Maple получено асимптотическое свойство решения: найдена наклонная асимптота.
Угол наклона вычислен с использованием аналитических возможностей Maple. Выведена простая формула для
горизонтального смещения подвижной опоры от действия нагрузки. Зависимость оказывается монотонной. Высота
фермы входит в знаменатель формулы.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: ферма, точное решение, прогиб, индукция, Maple
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Кирсанов М.Н. Анализ прогиба фермы с декоративной решеткой // Строительство: наука
и образование. 2019. Т. 9. Вып. 1. Ст. 1. URL: http://nso-journal.ru. DOI: 10.22227/2305-5502.2019.1.1
Analysis of the deflection of a truss with a decorative lattice
Mikhail N. Kirsanov
National Research University “Moscow Power Engineering Institute” (MPEI),
14 Krasnokazarmennaya st., Moscow, 111250, Russian Federation
ABSTRACT
Introduction. A scheme is proposed for a planar symmetric statically determinate beam truss with a rectilinear lower belt,
struts, multidirectional braces and a polygonal outline of the upper belt. The belts of the truss are rectilinear, the hinges are
ideal. The truss belongs to the class of regular trusses having periodic cells. The supporting rods are not deformable. The
truss is evenly loaded around the nodes of the lower belt.
Materials and methods. The task is to deduce the dependence of the deflection of the truss on the number of panels in
the span. The deflection is obtained from the Maxwell-Mora formula under the assumption that all the rods have the same
rigidity. Forces in the structural rods from the effective uniform load and from the unit vertical in the middle of the span are
determined by the method of cutting the nodes. The matrix of the system of linear equations of node equilibrium is made up
of the cosines of the forces with the coordinate axes. To compile a system of equations and solve it, the program of symbolic
mathematics Maple is used. To obtain the general formula, a number of problems of trusses with a number of panels from 2
to 29 are solved. Sequences of the coefficients of the deflection formula have common terms for which homogeneous recurrence
equations are also compiled using the methods of the Maple system using specialized operators.
Results. The solutions of recurrence equations have the form of polynomials with coefficients that depend on the parity of the
number of panels and contain trigonometric functions. The graphs of the solutions obtained are constructed and analysed.
Sharp changes of deflection characteristic for such truss and their non-monotonic character are noted. It is shown that for
a fixed, independent on the number of panels, length of the span and the total load, the relative deflection with increasing
number of panels first decreases, then varies little.
Conclusions. The asymptotic property of the solution is obtained by the methods of the Maple system: an inclined asymptote
is found. The slope is calculated using the analytical capabilities of Maple. A simple formula is derived for the horizontal
displacement of the mobile support from the action of the load. The dependence is monotonic. The height of the truss is
included in the denominator of the formula.
© М.Н. Кирсанов, 2019
1
Science and Education
Construction: Vol. 9. Issue 1 (31)
Стр.1
М.Н. Кирсанов
KEYWORDS: truss, exact solution, deflection, induction, Maple
FOR CITATION: Kirsanov M.N. Analysis of the deflection of a truss with a decorative lattice. Stroitel’stvo: nauka i obrazovanie
[Construction: Science and Education]. 2019; 9(1):1. URL: http://nso-journal.ru. DOI: 10.22227/2305-5502.2019.1.1
(rus.).
ВВЕДЕНИЕ
В работах [1, 2] Р.Дж. Хатчинсон и Н.Э. Флек
объявили «охоту» на схемы статически определимых
регулярных ферм. Если не ограничиваться
только простыми схемами балочных ферм с треугольной
или прямоугольной решеткой, то цель поиска
таких схем очевидна и имеет практический
смысл. Для разных целей в строительстве и машиностроении
требуются фермы с различными свойствами.
Как правило, основой всех используемых на
практике ферм являются статически определимые
конструкции, к которым иногда добавляются какиелибо
дополнительные элементы, делающие схему
статически неопределимой, или идеальные шарниры
заменяются жесткими соединениями. При этом
свойство базовой статически определимой схемы
является определяющим в статическом и динамическом
расчетах.
С тех пор, как была объявлена «охота», различными
авторами были предложены различные схемы
как плоских [3–6], так и пространственных [7, 8]
ферм, для которых методом индукции найдены решения
задачи о прогибе в зависимости от числа панелей.
Хотя эти решения были найдены с использованием
системы компьютерной математики Maple,
очевидно вполне возможно использовать и другие
компьютерные системы. Главное требование для
этих программ — наличие операторов для нахождения
общих членов последовательностей. Такие
последовательности возникают при обобщении методом
индукции ряда частных решений для ферм
с разным числом панелей (или ячеек периодичности)
на произвольное число панелей.
Аналитические зависимости усилий и деформаций
ферм имеют не только теоретическое, но
и практическое значение как для оценки проектов
конструкций, так и при исследовании характеристик
существующих ферм. Примерами аналитических
расчетов могут быть работы [9–16], где даны
достаточно простые формулы для расчета различных
арочных ферм, и [17–21] — решетчатых.
СХЕМА ФЕРМЫ. МЕТОД РАСЧЕТА
Предлагается схема симметричной конструкsn=
+ шарнирных узлов
ции (рис. 1). Число панелей в половине пролета равно
n. Ферма содержит 61
12 2
и mn= + — стержней. В число стержней включены
и три стержня, моделирующие опоры. Нагрузка
приложена равномерно по узлам нижнего пояса.
В ферме 4n – 2 стержня длиной a в верхнем и нижнем
поясе, 2n – 1 стоек высотой b, 4n раскосов дли22
ной
22
c ab= + и 2n раскосов длиной d ah= +
При вычислении прогиба используется инте.
грал
Мора. Для этого потребуются символьные выражения
для усилий в стержнях, которые получим
по программе [3]. Основой программы является
метод вырезания узлов. Интеграл Мора в данном
случае имеет вид:
∆=∑S N l EF( ).
m 3
i 1
−
=
лия в стержнях фермы от действия внешней нагрузки;
Ni
Введены стандартные обозначения: Si
— усилия в стержнях от действия единичной
— длины стержней; EF — жесткость стерж(безразмерной)
вертикальной силы в середине пролета;
li
— усиi
i
i
Рис. 1. Ферма, n = 4
2
наука и образование
Строительство: Том 9. Выпуск 1 (31)
Стр.2
Анализ прогиба фермы с декоративной решеткой
ней. Усилия трех жестких опорных стержней в сумму
не входят.
Пользуясь алгоритмом [3], предназначенным
для системы компьютерной математики, например,
Maple, составляем матрицу косинусов направляющих
углов усилий. В программу вводятся координаты
узлов. Приведем фрагмент кода на языке Maple:
> for i to 2*n+1
do
x[i]:=a*(i-1); y[i]:=0:
x[i+2*n+1]:=x[i];y[i+2*n+1]:=h:
od:
> for i to 2*n-1
do
>
od:
шетки фермы задается векторами , 1, ...,
i
Схема соединений стержней и шарниров ре=
Ri
m, соответствующими
стержням. Компоненты этих векторов
определяют номера шарниров по их концам.
В системе Maple эти векторы, соответствующие
нижнему поясу и раскосам длиной c, имеют
вид:
> for k to 2*n
do
R[k]:=[k,k+1];
> R[k+2*n+2]:=[k,k+2*n+2];
> R[k+4*n+2]:=[k+1,k+2*n+1];
> od:
Раскосы длиной d в верхнем ряду решетки:
> for k to n
do
>
>
R[k+6*n+2]:=[2*k+2*n,2*k+4*n+1];
R[k+7*n+2]:=[2*k+2*n+2,2*k+4*n+1];
> od:
Верхний пояс фермы:
> for k to 2*n-2
do
R[k+8*n+2]:=[k+4*n+2,k+4*n+3];
od:
Стойки:
> for k to 2*n-1
do
R[k+10*n]:=[k+2*n+2,k+4*n+2];
od:
Два боковых стержня в верхнем поясе:
> R[2*n+1]:=[1,2*n+2]:
R[2*n+2]:=[2*n+1,4*n+2]:
По данным координат и структуры решетки
формируется матрица системы линейных уравнений:
GS
B=
.
В результате решения полученной системы
в символьной форме получаем усилия в стержнях
фермы. Обозначено: S — вектор усилий в стержнях
фермы (включая опорные); B — вектор нагрузок.
Значения горизонтальных нагрузок, приложенные
АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ
Если проследить зависимость прогиба от числа
панелей при фиксированной длине пролета L =
= 2an = 80 м и фиксированной суммарной нагрузке
(2 1)
P nP= −
∆= ∆ F P L
изменения относительного безразмерного прогиба
'
s
на некоторую постоянную величину (рис. 2). В действительности
горизонтальной асимптоты здесь
нет. Есть наклонная асимптота, которую легко вычислить,
пользуясь аналитическими возможностями
Maple, lim '/
E /( )s
∆ nh L
=
n→∞
3
/ (8 ).
, то можно заметить немонотонность
от числа панелей и выход кривых
x[i+4*n+2]:=a*i; y[i+4*n+2]:=b+h;
B Pi
i
С. 1–10
к узлу i, записываются в нечетные элементы B2i–1
вертикальные — в четные 2 = = , ..., ,2 2n.
,
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Последовательный расчет ферм с увеличивающимся
от 2 до 28 числом панелей h = b дает результат
вида:
∆= ++
2
P Aa C c H h
EFnh
nn n
33 3
2
.
оператор rgf_findrecur системы Maple дает рекуррентные
уравнения для членов соответствующих
последовательностей. Для коэффициентов 4, 43,
176, 613, 1500, 3391, 6528, 12 065, ..., 4 265 045 при
a3
Для определения коэффициентов An
, Cn
имеем уравнение:
= +
A AA A A
A AA
n nn n 12 3
−− −
2 43
2 23
n nn− −−4 56
8
9
nn n 13
−− −
11 + +
12
−
+ − − +
−
ратора rsolve:
+ − ϕ− ϕ + ϕ
(27 24cos 3cos 2 ) / 2 12sin ) / 24,
n
A = − ϕ+ +
53
(5 (3cos 2 11)n
n
n
где ϕ= n /2π
тов выводятся аналогично:
Cnn
3
. Выражения для других коэффициенHnn
= − ϕ+
2(1 cos )
2
+ ϕ− ϕ+ ϕ+ + ϕ
= + ϕ− ϕ+ + ϕ
n
n
(2sin 2cos cos 2 1) 2sin ,
2 (3cos 2 8cos 5) 8sin ) / 4.
Не менее важной характеристикой деформативности
балочной фермы является горизонтальное
смещение подвижной опоры от действия нагрузки.
Если, пользуясь методом индукции, рассчитать эту
величину для рассматриваемой фермы, то получится
следующая простая зависимость
δ= P ( 1) / (3 ).
a n n −
22
hEF
В отличие от решения (1) здесь зависимость от
числа панелей — монотонная.
8 32 3
4 2.
A A AA
A
− − − +
n−7
n nn− −−10
A A An−14
− + −
n−4
−
Для решения этого уравнения привлекаем опе(1)
и
Hn
Science and Education
Construction: Vol. 9. Issue 1 (31)
Стр.3