ББКУДК 373.3:51
22.1я729
З-80
Золотарёва Н. Д.
З-80 Алгебра. Основной курс с решениями и указаниями : учебно-методическое
пособие / Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов,
Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ; под редакцией М. В. Федотова.
— 2-е изд., электрон. —М. : Лаборатория знаний,
2022. — 581 с. —(ВМК МГУ—школе). — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. —Текст :
электронный.
ISBN 978-5-00101-955-8
Настоящее пособие составлено на основе задач вступительных
экзаменов по математике в МГУ имени М. В. Ломоносова и задач
Единого государственного экзамена преподавателями факультета
ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический
материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки)
и решения задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче Единого государственного
экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению
как в МГУ, так и в другие вузы, учителям математики, репетиторам,
руководителям кружков и факультативов, преподавателям
подготовительных курсов.
ББКУДК 373.3:51
22.1я729
Деривативное издание на основе печатного аналога: Алгебра.
Основной курс с решениями и указаниями : учебно-методическое пособие
/ Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов
; под редакцией М. В. Федотова. —М. : Лаборатория знаний,
2018. — 576 с. : ил. —(ВМК МГУ—школе).
ISBN 978-5-00101-139-2.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-00101-955-8
© Золотарёва Н. Д., Попов Ю. А.,
Семендяева Н. Л., Федотов М. В.,
2018
© Лаборатория знаний, 2018
Стр.3
Оглавление
От редактора ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .
Предисловие ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .
Часть I. Теория и задачи
1. Преобразование алгебраических выражений, простейшие уравнения
и неравенства .
1.2. Сравнение чисел .
. .
1.1. Формулы сокращённого умножения, преобразование алгебраических
выражений .
. .
7
8
11
. . ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 11
. .
. . ... .. .. ... .. .. ... .. . 11
. . ... .. .. ... .. .. ... .. . 14
1.3. Модуль числа и алгебраического выражения, уравнения и неравенства
с модулем .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 15
1.4. Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на
множители, квадратные уравнения и неравенства, теорема
Виета . .
. . ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 19
2. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, простейшие
системы уравнений .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 23
2.1. Рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов . . 23
2.2. Простейшие системы уравнений. Подстановка и исключение
переменных при решении систем уравнений . . . . . . . . . . . 26
2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства, равносильные
преобразования .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 29
2.4. Смешанные задачи . .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 33
3. Преобразование тригонометрических выражений, стандартные тригонометрические
уравнения .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 34
3.1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного
и того же аргумента, формулы двойного и половинного
аргументов . ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 34
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения. Разложение на
множители, сведение к квадратному уравнению . . . . . . . . 37
3.3. Применение тригонометрических формул для сведения уравнений
к простейшим . .
. . ... .. .. ... .. .. ... .. . 40
3.4. Различные задачи на отбор корней . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4. Стандартные текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1. Пропорциональные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии . . . . . . . . . 48
4.3. Скорость, движение и время ... .. .. ... .. .. ... .. . 51
4.4. Работа и производительность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5. Проценты, формула сложного процента ... .. .. ... .. . 56
5. Стандартные показательные и логарифмические уравнения и неравенства
... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 58
5.1. Преобразование логарифмических выражений. Сравнение логарифмических
и показательных значений . . . . . . . . . . . 58
5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства, равносильные
преобразования .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 62
Стр.4
4
5.3. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства, равносильные
преобразования .
. . ... .. .. .. ... .. .. .. 66
5.4. Смешанные задачи ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 70
6. Линейные и однородные тригонометрические уравнения, системы
тригонометрических уравнений, использование ограниченности тригонометрических
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.1. Линейные тригонометрические уравнения, метод вспомогательного
аргумента ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 71
6.2. Однородные тригонометрические уравнения второй степени,
замена тригонометрических выражений . . . . . . . . . . . . . 74
6.3. Системы тригонометрических уравнений . . . . . . . . . . . . 77
6.4. Использование ограниченности тригонометрических функций,
оценочные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7. Изображение множества точек на координатной плоскости, использование
графических иллюстраций в уравнениях и неравенствах
различных типов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.1. Геометрические места точек, графики функций, правила линейных
преобразований графиков . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2. Плоские геометрические фигуры, применение метода координат
. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 91
7.3. Использование графических иллюстраций при решении уравнений
и неравенств ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 93
8. Элементы математического анализа . ... .. .. .. ... .. .. .. 96
8.1. Производная, её геометрический и физический смысл. Производные
элементарных функций, основные правила дифференцирования
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2. Исследование функций с помощью производной . . . . . . . . 100
8.3. Первообразные элементарных функций, основные правила
нахождения первообразных. Вычисление площади плоской
фигуры с помощью первообразной . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9. Текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.1. Скорость, движение и время .. ... .. .. .. ... .. .. .. 108
9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии . . . . . . . . . 110
9.3. Концентрация, смеси и сплавы, массовые и объёмные доли . 113
9.4. Целые числа, перебор вариантов, отбор решений . . . . . . . . 116
10. Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах различных видов . 119
10.1. Различные приёмы раскрытия модулей, системы уравнений
и неравенств с модулями . .
. . ... .. .. .. ... .. .. .. 119
10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях . . . . 124
10.3. Раскрытие модулей в показательных и логарифмических
уравнениях и неравенствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11. Разложение на множители и расщепление в уравнениях и неравенствах
различных видов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.1. Понятие расщепления, равносильные преобразования . . . . . 129
11.2. Расщепление в тригонометрических уравнениях и неравенствах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11.3. Расщепление в показательных и логарифмических уравнениях
и неравенствах, модифицированный метод интервалов . . 136
11.4. Смешанные задачи ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 140
Стр.5
5
Часть II. Указания и решения
1. Преобразование алгебраических выражений, простейшие уравнения
и неравенства .
1.2. Сравнение чисел .
. .
1.1. Формулы сокращённого умножения, преобразование алгебраических
выражений .
. .
143
. . ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 143
. .
. . ... .. .. ... .. .. ... .. . 143
. . ... .. .. ... .. .. ... .. . 149
1.3. Модуль числа и алгебраического выражения, уравнения и неравенства
с модулем .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 154
1.4. Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на
множители, квадратные уравнения и неравенства, теорема
Виета . .
. . ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 160
2. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, простейшие
системы уравнений .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 168
2.1. Рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов . . 168
2.2. Простейшие системы уравнений. Подстановка и исключение
переменных при решении систем уравнений . . . . . . . . . . . 179
2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства, равносильные
преобразования .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 184
2.4. Смешанные задачи . .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 199
3. Преобразование тригонометрических выражений, стандартные тригонометрические
уравнения .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 218
3.1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного
аргумента, формулы двойного и половинного аргументов . 218
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения. Разложение на
множители, сведение к квадратному уравнению . . . . . . . . 223
3.3. Применение тригонометрических формул для сведения уравнений
к простейшим . .
. . ... .. .. ... .. .. ... .. . 232
3.4. Различные задачи на отбор корней . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4. Стандартные текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.1. Пропорциональные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии . . . . . . . . . 259
4.3. Скорость, движение и время ... .. .. ... .. .. ... .. . 271
4.4. Работа и производительность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
4.5. Проценты, формула сложного процента ... .. .. ... .. . 285
5. Стандартные показательные и логарифмические уравнения и неравенства
... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 290
5.1. Преобразование логарифмических выражений. Сравнение логарифмических
и показательных значений . . . . . . . . . . . 290
5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства, равносильные
преобразования .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 298
5.3. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства, равносильные
преобразования . ... .. .. ... .. .. ... .. . 311
5.4. Смешанные задачи . .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 329
6. Линейные и однородные тригонометрические уравнения, системы
тригонометрических уравнений, использование ограниченности тригонометрических
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
6.1. Линейные тригонометрические уравнения, метод вспомогательного
аргумента . .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 343
Стр.6
6
6.2. Однородные тригонометрические уравнения второй степени,
замена тригонометрических выражений . . . . . . . . . . . . . 351
6.3. Системы тригонометрических уравнений . . . . . . . . . . . . 356
6.4. Использование ограниченности тригонометрических функций,
оценочные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
7. Изображение множества точек на координатной плоскости, использование
графических иллюстраций в уравнениях и неравенствах
различных типов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
7.1. Геометрические места точек, графики функций, правила линейных
преобразований графиков . . . . . . . . . . . . . . . . 380
7.2. Плоские геометрические фигуры, применение метода координат
. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 388
7.3. Использование графических иллюстраций при решении уравнений
и неравенств ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 397
8. Элементы математического анализа . ... .. .. .. ... .. .. .. 408
8.1. Производная, её геометрический и физический смысл. Производные
элементарных функций, основные правила дифференцирования
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
8.2. Исследование функций с помощью производной . . . . . . . . 411
8.3. Первообразные элементарных функций, основные правила
нахождения первообразных. Вычисление площади плоской
фигуры с помощью первообразной . . . . . . . . . . . . . . . . 419
9. Текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
9.1. Скорость, движение и время .. ... .. .. .. ... .. .. .. 425
9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии . . . . . . . . . 433
9.3. Концентрация, смеси и сплавы, массовые и объёмные доли . 441
9.4. Целые числа, перебор вариантов, отбор решений . . . . . . . . 450
10. Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах различных видов . 460
10.1. Различные приёмы раскрытия модулей, системы уравнений
и неравенств с модулями . .
. . ... .. .. .. ... .. .. .. 460
10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях . . . . 472
10.3. Раскрытие модулей в показательных и логарифмических
уравнениях и неравенствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
11. Разложение на множители и расщепление в уравнениях и неравенствах
различных видов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
11.1. Понятие расщепления, равносильные преобразования . . . . . 492
11.2. Расщепление в тригонометрических уравнениях и неравенствах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
11.3. Расщепление в показательных и логарифмических уравнениях
и неравенствах, модифицированный метод интервалов . . 520
11.4. Смешанные задачи ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 534
Варианты ДВИ МГУ последних лет . ... .. .. .. ... .. .. .. 555
Ответы ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 562
Список литературы .
. .
. . ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 576
Стр.7