МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.В. Игнатушина, Е.О.Каракулина ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ПО РАЗДЕЛУ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ» Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов педвузов Оренбург Издательство Южный Урал 2014 УДК 517.5 (075) ББК 22.161я73 И 27 Рецензенты И.К. <...> И 27 Типовые задачи по разделу «Интегральное исчисление функции одной переменной»: учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов педвузов / И.В. Игнатушина, Е.О. Каракулина; Мин-во образования и науки Рос. <...> 20 1.4.2 Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей . <...> 38 2.4 Формула замены переменной в определенном интеграле . <...> 63 4.1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования . <...> 5 1 Неопределенный интеграл 1.1 Понятие первообразной и неопределенного интеграла Определение. <...> Множество всех первообразных для функции промежутке D называют неопределенным интегралом функции обозначают ∫ fx ( )dx. ∫ ( )dx = F x f x Функция ( )xf - подынтегральным выражением. <...> ( ) ± ∫ ( ) Геометрический смысл неопределенного интеграла Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство функций, графики которых получены при помощи параллельного переноса вдоль 6 ∫ f x dx =ʹ′ = f ( ) <...> – называется подынтегральной функцией, а выражение ( )dxxf на заданном промежутке D, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство (1.1) f ( )x на fx ( ) и оси ординат одного из графиков. <...> …………………………………. То есть, неопределенный интеграл от функции f x семейство парабол. <...> 22 = ⋅ ∫ − xa ax a − dx 2 1 ln ax a arctg С = ⋅ 1 x a + ln 24) tg ( x tgx С =+С; a ; x a С; + + 1.3 Методы интегрирования 1.3.1 Метод непосредственного интегрирования Этот метод основан на свойствах неопределенного интеграла и формулах интегрирования. <...> Тригонометрические подстановки при интегрировании некоторых иррациональных функций 1. <...> Подынтегральное выражение <...>
ТИПОВЫЕ_ЗАДАЧИ_ПО_РАЗДЕЛУ_«ИНТЕГРАЛЬНОЕ_ИСЧИСЛЕНИЕ_ФУНКЦИИ_ОДНОЙ_ПЕРЕМЕННОЙ».pdf
УДК 517.5 (075)
ББК 22.161я73
И 27
Рецензенты
И.К. Зубова, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
математического анализа Оренбургского государственного университета
Л.Н. Курбатова, старший преподаватель кафедры математического
анализа и методики преподавания математики Оренбургского
государственного педагогического университета
Игнатушина, И. В.
И 27 Типовые задачи по разделу «Интегральное исчисление функции
одной переменной»: учебно-методическое пособие для студентов
физико-математических факультетов педвузов / И.В. Игнатушина,
Е.О. Каракулина; Мин-во образования и науки Рос. Федерации,
ФГБОУ ВПО «Оренб. гос. пед. ун-т». – Оренбург: Южный Урал, 2014.
– 74 с.: ил.
УДК 517.5 (075)
ББК 22.161я73
© Игнатушина, И. В. Каракулина Е.О., 2014
© Оформление. Издательство Южный Урал, 2014
Стр.2
Содержание
Предисловие .......................................................................................................................... 5
1 Неопределенный интеграл .................................................................................................. 6
1.1 Понятие первообразной и неопределенного интеграла .......................................................... 6
1.2 Формулы интегрирования ....................................................................................................... 8
1.3 Методы интегрирования .......................................................................................................... 8
1.3.1 Метод непосредственного интегрирования ........................................................................... 8
Вопросы для самопроверки ...................................................................................................................... 8
Примеры решения задач ........................................................................................................................... 9
Задачи для аудиторной работы .............................................................................................................. 10
Задачи для самостоятельной работы ...................................................................................................... 11
1.3.2 Метод замены переменной ................................................................................................... 12
Примеры решения задач ......................................................................................................................... 13
Задачи для аудиторной работы .............................................................................................................. 14
Задачи для самостоятельной работы ...................................................................................................... 16
1.3.3 Метод интегрирования по частям ......................................................................................... 17
Примеры решения задач ......................................................................................................................... 18
Задачи для аудиторной работы .............................................................................................................. 19
Задачи для самостоятельной работы ...................................................................................................... 20
1.4 Интегрирование рациональных дробей ................................................................................ 20
1.4.1 Интегрирование простейших рациональных дробей ........................................................... 20
1.4.2 Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей ................................ 22
Примеры решения задач ......................................................................................................................... 23
Задачи для аудиторной работы .............................................................................................................. 27
Задачи для самостоятельной работы ...................................................................................................... 28
1.5 Интегрирование тригонометрических функций ..................................................................... 28
1.5.1 Универсальная тригонометрическая подстановка ................................................................ 28
1.5.2 Интегралы типа ∫ nsi m cos xdx ................................................................................. 29
n
x⋅
1.5.3 Интегралы вида sin
∫
x ⋅cos
xdx , sin
∫
x ⋅sin
xdx , cos
∫
x ⋅cos
xdx ....... 30
Примеры решения задач ......................................................................................................................... 30
Задачи для аудиторной работы .............................................................................................................. 31
Задачи для самостоятельной работы ...................................................................................................... 32
1.6 Интегрирование иррациональных функций .......................................................................... 32
Примеры решения задач ......................................................................................................................... 33
3
β
α
β
α
β
α
Стр.3
Задачи для аудиторной работы .............................................................................................................. 34
Задачи для самостоятельной работы ...................................................................................................... 34
2 Определенный интеграл ................................................................................................... 35
2.1 Понятие определенного интеграла ........................................................................................ 35
2.2 Некоторые свойства определенного интеграла ..................................................................... 36
2.2 Интеграл с переменным верхним пределом ......................................................................... 37
2.3 Формула Ньютона-‐Лейбница ................................................................................................. 38
2.4 Формула замены переменной в определенном интеграле ................................................... 38
Вопросы для самопроверки .................................................................................................................... 39
Примеры решения задач ......................................................................................................................... 40
Задачи для аудиторной работы .............................................................................................................. 41
Задачи для самостоятельной работы ...................................................................................................... 43
3 Геометрические приложения определенного интеграла .................................................. 45
3.1 Вычисление площадей плоских фигур ................................................................................... 45
3.2 Вычисление объёма тела ....................................................................................................... 48
3.3 Длина дуги кривой ................................................................................................................. 50
3.4 Площадь поверхности вращения ........................................................................................... 50
Вопросы для самопроверки .................................................................................................................... 51
Примеры решения задач ......................................................................................................................... 52
Задачи для аудиторной работы .............................................................................................................. 59
Задачи для самостоятельной работы ...................................................................................................... 61
4 Несобственные интегралы ................................................................................................. 63
4.1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования .............................. 63
4.2 Несобственные интегралы от неограниченных функций ....................................................... 65
Вопросы для самопроверки .................................................................................................................... 67
Примеры решения задач ......................................................................................................................... 68
Задачи для аудиторной работы .............................................................................................................. 68
Задачи для самостоятельной работы ...................................................................................................... 69
Приложение А ...................................................................................................................... 70
Приложение Б ...................................................................................................................... 71
Приложение В ...................................................................................................................... 72
Список использованной литературы .................................................................................... 74
4
Стр.4