В.М. ДРАГИЛЕВ, Л.Л. ДРАГИЛЕВА
НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ В МЕТОДЕ ПРОЕКЦИЙ
ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА
С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ
Ранее предложенные оценки, связанные с чувствительностью решений к случайным
погрешностям исходных данных, приводятся к виду, удобному для учета априорной
информации. <...> Отыскание не~ ( x) для функции-оригинала q ( x) по исходным данным
кого приближения q
u~ ( x) является некорректной задачей, которая может решаться методом
Тихонова [1]. <...> Такая информация содержится в наборе величин
{ ∆ , η1 ,K , η M },
где ∆ = δu / u
- погрешность исходных данных; η N - относительная по-
грешность, с которой функция-оригинал приближается первыми N
членами своего разложения по выбранному базису (здесь и ниже
нормы и скалярные произведения всех векторов берутся в соответствующих евклидовых пространствах). <...> Согласно [5] полная погрешность решения (3) (его относительное
отклонение от оригинала в пространстве L2 [ X 1, X 2 ] ) формируется из двух
составляющих, одна из которых пропорциональна погрешности η N и оце-
нивается из анализа невозмущенной задачи (т.е. при δu = 0 ), а вторая
(обозначим ее η∆ ) пропорциональна погрешности исходных данных ∆ . <...> Такую версию проекционного алгоритма назовем канонической,
любую иную - общей. <...> Сравнительные достоинства двух
названных разновидностей проекционного алгоритма предполагается осветить в будущих публикациях. <...> (8)
Далее, как и в работах [3, 4], введем вектор u′ = A( N )a′ - приближенное решение прямой задачи, восстановленное из решения невозмущенной обратной задачи. <...> Оценка (8) является, очевидно, точной по всевозможным векторам δu при
произвольной функции-оригинале q (x) . <...> Оценки (8), (9) имеют тот
недостаток, что в них входят векторы a′,u , которые относятся к невозмущенной задаче и в ходе реконструкции функции-оригинала остаются неизвестными. <...> №1(28)
ISBN 5-7890-0354-0
оценка получена ниже в рамках канонической версии алгоритма. <...> Предварительно сделаем два замечания, относящихся также и к общей <...>
Вестник_Донского_государственного_технического_университета_№1_2006.pdf
Вестник ДГТУ, 2006. Т.6. №1(28)
МАТЕМАТИКА
УДК 534.631:519.642.3
В.М. ДРАГИЛЕВ, Л.Л. ДРАГИЛЕВА
НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ В МЕТОДЕ ПРОЕКЦИЙ
ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА
С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ
ISBN 5-7890-0354-0
Введение. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода
[ ˆ ] ) ≡(xqA
X2
∫
X1
с гладким вырожденным ядром
(
ближенно, т.е. u x u x) + u x ) , где первое слагаемое
2[
) = (
(
1,
2]
u является некорректной задачей, которая может решаться методом
~(x )
Тихонова [1].
Альтернативный подход, близкий к методу проекций [2], развивается
в приложении к обратным граничным задачам теории упругости [3-5] и
заключается в следующем.
базис {f x)}∞
где n
a
В пространстве L X X задается какой-либо ортонормированный
n (
2[
1,
2 ]
n=1 . Решение строится в виде
N
~ - искомые приближенные значения коэффициентов обобщенного
q x) ∑a f x) ,
n=1
~(
=
~ (
n
n
ряда Фурье; N - регуляризующий параметр, N M≤ .
Формальная подстановка разложения (3) в уравнение (1) приводит
к матричному уравнению
где A - матрица размера
~ = (~,1
j
(N )
u u uK - вектор исходных данных с компонентами
x - выбранные опорные точки на отрезке [X X , MJ ≥ .
,~ )
J
3,
3
4 ]
A a u ,
(N =~ ~
)
j
(4)
J N× , явный вид которой выписан в [3-5];
u u x=~ ~( )j
;
(3)
K x x′ =) ∑ (m x′) m x ) .
m=1
M
,
Предполагаем, что правая часть u уравнения (1) задана при~(
~(x
)
u A qˆ= порождается
искомой функцией-оригиналом q(x) ∈ L X X , а второе ( u ) есть
~(x )
погрешность, возникшая, например, в процессе измерений. Отыскание некого
приближения
q для функции-оригинала q(x ) по исходным данным
(
(2)
K x x q x dx u x) ,
(
,
′)
(
′)
′ = ~(
x X X∈
[
3,
4 ] ,
(1)
н е м ы о
Р га р р в в
п ф ч п
м
е ш а
и л ь К л
г
о
п о и
р с и л о
е н ц е с р
е т . о дв аа ,: н м
о
д я
л м иж се хн он ды н
о о е е
н ю а
р
г
о
δ
е ы
о х
ц д
е ан н
к н
и
, ы
с х
в , пя рз иа вн он ды яе т
е е
к т
о о
р д
с с
ч я к
у
в
р пе рк от ен кы ие о .
й
б
р
ц
а
с в
т
н
т и
ы
в д
и у
т , ул д
е
е з
а
д
ь он б
а
ч
о н
и
с от мь ую д р л
р
е
, и
н
т
е
г
шя уе чн еи тй а
е
а
л
ь
н
о
к а
у
с п
р
л р
а
у и
в
ч о
н
а р
е
й н
н
н о
ы й
м
и
е
Ф
р
е
д
-
δ
ϕ
ψ
Стр.1