Математика-1 (110,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Казанский институт (филиал) ГОУ ВПО Российский государственный торгово-экономический университет _______________________________________________________ Кафедра информатики и высшей математики ТАЛЫЗИН В.А. МАТЕМАТИКА-1 Учебное пособие КАЗАНЬ-2008г.

Стр.1

Введение Учебное пособие подготовлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по экономическим специальностям и предназначено для студентов заочного отделения. Цель пособия – помочь студентам в усвоении фундаментальных математических понятий, овладении навыками их применения на практике при выполнении контрольной работы по соответствующим темам высшей математики. В пособии рассмотрены такие разделы высшей математики как предел и производная функции, неопределенный и определенный интеграл, дифференциальные уравнения, а также применение математического аппарата производной и дифференциала функции в приближенных вычислениях, для исследования функций и построения их графиков. По каждой теме приводятся необходимые теоретические сведения, решаются типовые задачи, подобраны задания для самостоятельной работы и вопросы для самопроверки. 1. Предел функции Число А называется пределом функции f x( ) при x , стремящимся к x0 >0 (зависящее в общем случае от если для любого положительного числа ное число x0 и удовлетворяющих условию x x < , 0 выполняется неравенство f x A)( < . Для предела функции вводится обозначение limx x 0 f x( ) =А. Пределы функций обладают следующими основными свойствами: , ( >0) найдется такое положитель), что для всех x , не равных      

Стр.2

1. Функция не может иметь более одного предела. 2. Если f x( ) = С (постоянная), то 3. Если существует lim f ( x ) x x0  ство: limx x0 Cf x C x x 0 x x 0 lim f ( x ) lim g( x ) x x   0 ( )  lim ( )  4. Если существуют lim ( ) АВ, а если В0 , то x x 0 lim f x CА. x x0 f x  А и lim ( )  0 g( x ) f ( x ) x xlim f g x   0  ( )    f lim ( ) . x x g x   0   Если функция f x( ) непрерывна в точке x0 0 , то искомый предел равен значению функции в этой точке, т.е. он находится непосредственной подстаx x0 f x  f x( ). новкой предельного значения переменной вместо аргумента x : lim ( ) Функция ли ее предел в точке 0 Пример 1.1. limx x Пример 1.2. limx x 2 2 ( x ) называется бесконечно малой величиной при xx0 , есx равен нулю: lim (x)  Функция f x( ) называется x x 0 0. бесконечно большой величиной при xx0 , если lim ( ) x  3   2 3 2   2 3 x  2 3 3 3 2     9 2 2 3 2 2 1  9.     7 0  . В рассмотренных примерах предел находился сразу в виде числа или символа  (бесконечность). Но чаще при вычислении пределов мы встречаемся с неопределенностями, когда результат нахождения предела не ясен. Например, в случае отношения двух бесконечно малых функций ( условное обозначение 0   ,0 0 ) или отношения двух бесконечно больших функций (    Кроме двух названных случаев встречаются неопределенности вида   ,1 ,   .   , 0 00 Для раскрытия неопределенностей используются специальные математические приемы и два следующих предела, которые играют особую роль в математике и поэтому называются замечательными: - первый замечательный предел lim sin x -второй замечательный предел nlim 1 1 0    n x x  1; n   no   lim1 n n  e (число Эйлера). 1    ).   x x0 f x  .  x x x x   lim f ( x ) lim g( x ) 0 0 lim  f ( x ) g( x ) lim f ( x ) iml g( x ) A B, xx0 x x g x  В, то lim ( ) ( )  x x 0 xx0  B А . 5. Операция предельного перехода перестановочна с операцией вычисления непрерывной функции, т. е. справедлива формула xx0    f x g x = lim f ( x ) x x0   С. А, то для любого числа С верно равен 

Стр.3

Пример 1.3. limx3 3x  4 15 . 2 2x  x5 3 x 2 с неопределенностью вида 0 0    limx 3x        2 3 5 3 3 3 2x  x5 3 2 2 4 15 x 2 3 3 4 3 15      2 Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что имеем дело  :   18 15 3 27 12 15         x1   5 5 4 2 3 2 2 2      ( 5 3 2(x x x x )  2(x  3)(x  x  1)(  2 2x    2 теле. 4 2 4 15 0 2      ( ) 2 5 3 0 2  3, x2 5  0 0 .    на множители. Найдем корни многочлена, стоящего в числителе. Для этого составим уравнение второй степени 2 Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель x  x   и найдем его решение:  5  4 2  ( 3) 2 2  ли 1 2 ) . Аналогичные действия выполним для многочлена, стоящего в знаменаУравнение 3x  x   имеет решения x1   4 4 3 15 3 2 )  3, x2   4 2 4 15 3(x  3)(x  ). и знаменатель представляется в виде:3x    ) x limx3 1 2 ) Пример 1.4. limx2 3(x  3)(x  ) x  2 5 3 3 7 неопределенность вида 0   к знаменателю lim x2 ( = lim (x  2)( x2 x    x)( x (x  2)( 3 7 3 Пример 1.5. limx 3x  2 1 2 5x  3 x 2 . 2(x 2)    limx3 x    x . Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что возникает 0 . Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение x    x , являющееся сопряженным 3 x    x) 3     7 x     x2 x) 7 3 7  limx2 7 x) lim (x  2)( 3 7 2 x       x x    x) 5 ( 5 2 x    x) 3 7 3 7  5 . 2( 3( x x   1 2 ) 5 3  ) 2 3 1 2 3 3 5 3 ( (   )  ) 1 2 5 3 Сократим дробь на множитель (x  3 и вычислим ее при x  3 2(x  3)(x  . 4 4 3 15 3 2 2      ( )   5 3   1 2 . Тогда для квадратного трехчлена справедливо разложение на множите

Стр.4

Решение. Имеем неопределенность вида      знаменатель на x2    . Разделим числитель и (в более общем случае, когда числитель и знаменатель представляют многочлены разных степеней, делят на x с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя). Используя свойства пределов, получим: limx 3x    limx 2 5x  3 x 2 2 1 Пример 1.6. lim sin5 . tg x 2 x0 x Решение. При x0 имеем неопределенность вида 0 0    tg x 2  sin cos 2 2 x x    . Представим , в котором числитель разделим и умножим на число 2, знаменатель - на число 5, а числитель и знаменатель разделим на переменнуюx , тогда предел преобразуется к виду: lim sin tg x 2 x0 5x далее имеем: 2 2  limx0 sin x 2x 2 5cos2  x lim( x0 n 2 5 Пример 1.7. lim    n  n 4 1 4 3   2x cos x2     sin )   5x 5x 5n1 . Решение. Имеем неопределенность вида [1 nlim( n5   )1  4 3 4 1 n n n  1 3 4      n  ) Введем новую переменную ) nlim   4 1 4 3 n n      5n1   4 . Тогда 5 1 5 1 3 4 1 5 11 n   (     4  nlim 1     n4 3 4 ], так как limn ( n4 3 3 1 4 3 4 3n    1 4 n 4 1 4 3 n n . . Выделим у дроби целую часть 4 3 и выразим отсюда n через ная 0. Теперь, переходя к новой переменной мечательный предел, получим:    5n1  lim 1 0  : . Заметим, что при n перемени используя второй за5 11 4      nlim  4 1 4 3 1, а   n n  2 5 lim sin x 2 x0 x0 2x limcos x lim sin5x 5x 2  x0 sin5x . 5x Пользуясь свойствами пределов и первым замечательным пределом, sin x     2 5 1 1 1 2 5 . 5 3 x    2 3 2 1 x x  2 3 0 0    5 0  5 3 .          

Стр.5