ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВ
в программных продуктах
SCAD, MSC.Patran-Nastran-2005 и MathCAD
Методические указания
Челябинск 2007
Методические указания предназначены для студентов 2-го курса всех специальностей дневной формы обучения и студентов-заочников 3-го курса, изучающих дисциплины «Сопротивление материалов», «Прикладная механика» и «Техническая механика». <...> 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВ
МОМЕНТЫ СЕЧЕНИЯ
Рис. <...> Он равен сумме осевых моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей, проходящих через начало координат. <...> Моменты инерции J y , J z , J ρ всегда положительны и никогда не равняются
нулю. <...> Единицами измерения статического момента и момента инерции сечения являются м3, м4. <...> ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ СЕЧЕНИЯ И СВОЙСТВО
СТАТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
Центром тяжести сечения называется точка (рис. <...> (2)
Статический момент сечения относительно оси равняется его площади, умноженной
на расстояние от центра тяжести сечения до этой оси. <...> Статические моменты сечения относительно центральных осей равны нулю, т.к. для
этих осей yc = 0 : zc = 0 . <...> Осевой момент инерции сечения относительно произвольной оси, параллельной центральной, равен сумме момента инерции относительно центральной оси и произведения квадрата расстояния между осями на площадь сечения. <...> По определению, центробежный момент инерции сечения относительно перпендикулярных осей y1 и z1
4
J y1 z1 = ∫ ( y + a )(z + b )dF = J yz + abF . <...> (4)
F
Центробежный момент инерции сечения относительно перпендикулярных осей равен
центробежному моменту инерции относительно центральных осей, параллельных им,
сложенному с произведением расстояний между осями на площадь сечения. <...> 4
Пусть известны координаты y и z левого нижнего угла площадки dF (рис. <...> ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ И ЗНАЧЕНИЙ
ГЛАВНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
Пусть в системе координат yOz известны моменты инерции J y , J z , J xy . <...> Главными осями сечения, проходящими через данную <...>
Определение_геометрических_характеристик_поперечных_сечений_брусьев_в_программных_продуктах_SCAD,_MSC.Patran-Nastran-2005_и_MathCAD_методические_указания.pdf
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ
И ОБРАЗОВАНИЯ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АГРОИНЖЕНЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра сопротивления материалов
Утверждаю.
Проректор по УР
А.Патрушев
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВ
в программных продуктах
SCAD, MSC.Patran-Nastran-2005 и MathCAD
Методические указания
Челябинск 2007
Стр.1
Методические указания предназначены для студентов 2-го курса всех специальностей
дневной формы обучения и студентов-заочников 3-го курса, изучающих дисциплины
«Сопротивление материалов», «Прикладная механика» и «Техническая механика».
Составитель
Жилкин
В.А. - докт.техн.наук, профессор (ЧГАУ)
Рецензенты
Сапожников СБ. - докт. техн. наук, проф. (ЮУрГУ)
Кромский Е.И. - канд. техн. наук, доцент (Уральский филиал МАДИ)
Печатается по решению редакционно-издательского совета ЧГАУ
© ФГОУ ВПО "Челябинский государственный агроинженерный университет", 2007.
2
Стр.2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВ
МОМЕНТЫ СЕЧЕНИЯ
Рис.1
тегралы вида:
Sy
Sz
Jy
Jz
J
yz
z ;
J = ∫
F
2
=
=
Под моментами сечения, приведенного на рис.1, понимаются определенные инzdF
∫
∫
F
ydF;
F
=
=
∫
∫
F
y d ;F
2
F
= ∫
F
;
z d ;F
2
- осевые моменты инерции сечения относительно осей y и z ;
yzdF - центробежный момент инерции сечения относительно осей y и
dF = ∫ (y + z dF = ∫ z dF + ∫ y dF = + Jz
2
2
F
)
F
z
2
F
инерции сечения относительно начала координат. Он равен сумме осевых моментов
инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей, проходящих
через начало координат.
Моменты инерции y
J , J , J всегда положительны и никогда не равняются
нулю. S , S , J могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.
Единицами измерения статического момента и момента инерции сечения являy
ются
м3, м4.
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ СЕЧЕНИЯ И СВОЙСТВО
СТАТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
Центром тяжести сечения называется точка (рис.2), координаты которой определяются
по формулам:
y
ц.т = ;
F
S
z
z
ц.т = .
F
S
3
y
(1)
z
yz
2
J y
- полярный момент
- статические моменты сечения относительно осей y и z ;
ρ
ρ
ρ
Стр.3
Понятию «центр тяжести» не следует придавать физического смысла.
Если положение центра тяжести известно, то из (1) следует
S y Fт.ц
z =
⋅
; S z Fт.ц
y =
⋅
.
(2)
Статический момент сечения относительно оси равняется его площади, умноженной
на расстояние от центра тяжести сечения до этой оси.
Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными.
Статические моменты сечения относительно центральных осей равны нулю, т.к. для
этих осей
y 0c = : z 0c = .
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ
Пусть оси y и z будут центральными (рис.3). В соответствии с определением
осевые моменты инерции сечения относительно параллельных осей 1
+ )
y и 1
J y1 = (z a d ;F
2
Jz1 = ( )
F
∫
∫
F
y b dF
+
2
J 1y = +J a F;
2
y
z
Jz1 = +J b F.
Раскрыв скобки и преобразовав выражения, получим
2
(3)
Осевой момент инерции сечения относительно произвольной оси, параллельной центральной,
равен сумме момента инерции относительно центральной оси и произведения
квадрата расстояния между осями на площадь сечения.
пендикулярных осей 1
По определению, центробежный момент инерции сечения относительно перy
и 1
z
4
z имеют вид
Стр.4
J
y z11
= ∫ ( + )( +
F
y a z b)dF = J yz + abF .
(4)
Центробежный момент инерции сечения относительно перпендикулярных осей равен
центробежному моменту инерции относительно центральных осей, параллельных им,
сложенному с произведением расстояний между осями на площадь сечения.
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО
ОСЕЙ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ
Рис.4
Определим координаты 1
y1
По определению:
J
Пусть известны координаты y и z левого нижнего угла площадки dF (рис.4).
y и 1
относительно системы координат yOz на угол
;
= ycos
y1 =
J 1z =
∫
∫
F
F
Если сложить выражения (5), получим
J
J y
z1 dF = J cos
2
2
y
y1 dF = J sin
y
2
+ z sin
2
z1
z этой точки в системе координат y1Oz , повернутой
:
1
= −y sin
+ J sin
z
+ J cos
z
2
2
+ z cos
yz
.
− J ins 2 ;
+ J ins 2 .
yz
y1 + J 1z = + =J const .
z
Сумма осевых моментов инерции относительно ортогональных осей есть величина постоянная.
J
y
z11
= ∫ y z dF = − z
F
J y
1 1
J y1 = + + − z
y
Jz
2
Jz1 = + − − z
y
J Jz
2
y
5
2 s 2inJ
Формулы (5) можно переписать в виде:
J y
+ J c 2os
yz
2 c 2os
J J
2 c 2os
J J
.
− J s 2in
yz
yz
+ J ins 2 .
(7)
(6)
(5)
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
Стр.5