МОНОГРАФИИ ВШЭ
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
Стр.2
волинейных неТеория
лн
А.М. Камчатнов
2-е издание, электронное
Издательский дом
Высшей школы экономики
Москва, 2025
Стр.4
УДК 534.182+534.222.2
ББК 22.324+22.312
К18
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор факультета физики НИУ ВШЭ,
главный научный сотрудник Международной лаборатории физики
конденсированного состояния НИУ ВШЭ
В. И. Юдсон;
доктор физико-математических наук, профессор, начальник отдела
Национального исследовательского центра «Курчатовский институт»
С. В. Сазонов
К18
Камчатнов, Анатолий Михайлович.
Теория нелинейных волн / А. М. Камчатнов ; Нац. исслед. ун-т «Высшая
школа экономики». — 2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 794 с. — Москва : Издательский
дом ВШЭ, 2025. — (Монографии ВШЭ. Технические науки). — Систем. требования:
Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный.
ISBN
978-5-7598-4068-8
В монографии излагаются как основы теории нелинейных волн, так и её разделы,
находящиеся на переднем крае науки. Особое внимание уделено теории дисперсионных
ударных волн, мало отражённой в существующей монографической литературе. В частности,
детально изложен подход Гуревича–Питаевского, основанный на модуляционной
теории Уизема. Для освоения книги достаточно знания стандартных курсов физики
и математики, преподаваемых в технических университетах. Используемый математический
аппарат ориентирован на приложения теории к типичным физическим задачам.
Книга предназначена как для специалистов, работающих в области теории нелинейных
волн, так и для студентов и аспирантов, изучающих эту область науки.
УДК 534.182+534.222.2
ББК 22.324+22.312
Электронное издание на основе печатного издания: Теория нелинейных волн / А. М. Камчатнов ;
Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». — Москва : Издательский дом ВШЭ, 2024. — 792 с. —
(Монографии ВШЭ. Технические науки). — ISBN 978-5-7598-2933-1. — Текст : непосредственный.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.
ISBN 978-5-7598-4068-8
© Камчатнов А. М., 2024
Стр.5
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................................................................................ 13
Гл а в а 1. Звук............................................................................................ 15
1.1. Распространение звука в газах . ............................................................. 15
1.1.1. Приближение сплошной среды . ................................................... 16
1.1.2. Уравнение непрерывности . ........................................................... 17
1.1.3. Уравнение Эйлера . ..................................................................... 18
1.1.4. Уравнение адиабатичности течения и уравнения газовой динамики 19
1.1.5. Волновое уравнение . ................................................................... 22
1.1.6. Законы сохранения импульса и энергии в газовой динамике . ....... 28
1.1.7. Энергия и импульс звуковых волн . ............................................. 32
35
1.1.8. Лагранжева формулировка законов сохранения для звуковых волн
1.1.9. Лагранжиан уравнений гидродинамики для потенциальных
òå÷åний . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 38
1.1.10. Звуковые и энтропийные волны . ............................................... 40
1.1.11. О математике звуковых волн . ................................................... 42
1.1.12. Влияние диссипации на распространение звука . ......................... 48
1.2. Волны на поверхности воды. ................................................................... 50
1.2.1. Формулировка проблемы . ........................................................... 50
1.2.2. Законы сохранения массы, импульса и энергии для волн на воде 53
1.2.3. Теория мелкой воды . ................................................................... 57
1.2.4. Двухслойная жидкость . ............................................................. 59
1.3. Динамика бозе-эйнштейновского конденсата . ......................................... 65
1.3.1. Однокомпонентный конденсат . ..................................................... 65
1.3.2. Лагранжева и гамильтонова формулировка уравнения Гросса–
Питаевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 67
1.3.3. Двухкомпонентный конденсат: основные уравнения . ................... 71
1.4. Заключение. ........................................................................................... 74
Гл а в а 2. Нелинейность ............................................................................ 75
2.1. Уравнение Хопфа . ................................................................................. 75
2.1.1. «Пылевидная материя» . ............................................................... 75
2.1.2. Общее решение уравнения Хопфа и его свойства . ....................... 76
2.2. Задача об истечении газа в пустоту и волна разрежения . ....................... 81
2.3. Простая волна. ....................................................................................... 87
2.4. Задача о поршне . ................................................................................... 90
2.5. Уравнение Хопфа в теории возмущений . ................................................. 94
2.6. Инварианты Римана для системы двух уравнений первого порядка . ....... 99
2.6.1. Уравнения газовой динамики в диагональной римановой форме . . 99
2.6.2. Общая система двух уравнений первого порядка . ...................... . 102
2.7. Обтекание газом угла: течение Прандтля–Майера . ................................ . 105
2.8. Метод годографа для уравнений газовой динамики . .............................. . 113
Стр.6
6
Оглавление
2.9. Задача о расширении газового слоя . ...................................................... . 122
2.10. Расширение газового облака в пустоту . ................................................ . 128
2.11. Эволюция импульса плотности в одноатомном газе . .............................. . 134
2.11.1.Монотонное начальное возвышение плотности . ........................ . 135
2.11.2. Локализованные начальные возвышения плотности . .................. . 137
2.12. Эволюция облака бозе-эйнштейновского конденсата, расширяющегося
в вакуум . .............................................................................................. . 142
2.13.Метод Римана. ...................................................................................... . 148
2.14. Эволюция импульса плотности в бозе-эйнштейновском конденсате. ........ . 157
2.14.1.Монотонный начальный импульс плотности . ............................ . 157
2.14.2. Локализованный начальный импульс плотности . ...................... . 158
2.15. Релятивистская гидродинамика . ............................................................ . 163
2.15.1. Основные уравнения . ................................................................ . 164
2.15.2. Скорость звука, римановы инварианты, простые волны . ............ . 166
2.15.3. Адиабатическое течение . .......................................................... . 170
2.15.4. Преобразование годографа и функция Римана
в ультрарелятивистской гидродинамике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2.15.5. Задача Ландау–Халатникова . .................................................. . 176
2.16. Бездисперсионные волны в двухкомпонентном конденсате . .................... . 186
2.16.1. Простые волны . ........................................................................ . 186
2.16.2. Динамика волн поляризации . .................................................. . 189
2.17. Одномерное расширение бозе-конденсата, выпущенного из ловушки. ...... . 195
2.18. Неавтомодельные решения . .................................................................. . 198
2.18.1. Неавтомодельное расширение облака конденсата . ...................... . 198
2.18.2. Волновой прибой вблизи наклонного берега . ............................ . 201
2.19. Заключение. .......................................................................................... . 204
Гл а в а 3. Нелинейность и вязкость: ударные волны............................... . 205
3.1. Возможны ли нелинейные волны со стационарным профилем? . .............. . 205
3.2. Адиабата Рэнкина–Гюгонио. .................................................................. . 208
3.2.1. Теория Рэнкина . ........................................................................ . 209
3.2.2. Условия на разрыве Гюгонио . .................................................... . 212
3.2.3. Теорема Жуге–Цемплена . .......................................................... . 218
3.2.4. Эволюционность ударной волны . ................................................ . 219
3.3. Задача о поршне . .................................................................................. . 223
3.4. Эволюция скачка в распределении плотности и контактные разрывы . .... . 228
3.5. Распад начальных разрывов. .................................................................. . 230
3.5.1. Случай политропных газов . ........................................................ . 231
3.5.2. Общий случай баротропных газов . ............................................ . 234
3.6. Косая ударная волна и течение мимо вогнутого угла . ............................ . 241
3.7. Отражение звука от ударной волны . ...................................................... . 245
3.8. Устойчивость ударных волн . .................................................................. . 247
3.9. Эволюция нелинейного импульса в малоамплитудном пределе . .............. . 255
3.10. Уравнение Бюргерса . ............................................................................ . 260
3.10.1. Вывод уравнения Бюргерса . ...................................................... . 261
3.10.2. Формирование ударной волны . .................................................. . 263
Стр.7
Оглавление
7
3.10.3. Условие формирования ударной волны в теории Бюргерса . ........ . 267
3.10.4. Устойчивость ударной волны Бюргерса . .................................... . 268
3.11. Заключение. .......................................................................................... . 271
Гл а в а 4. Дисперсия ................................................................................. . 272
4.1. Эффекты дисперсии для волн на воде . .................................................. . 273
4.1.1. Закон дисперсии . ...................................................................... . 273
4.1.2. Линейное уравнение КдФ . ........................................................ . 276
4.2. Модуляция линейных волн . .................................................................. . 279
4.3. Перенос энергии волнами и групповая скорость. .................................... . 283
4.3.1. Перенос энергии линейными волнами на воде . ............................ . 283
4.3.2. Перенос энергии: вариационный подход . .................................... . 285
4.4. Параболическое уравнение . .................................................................. . 287
4.5.Метод стационарной фазы. .................................................................... . 290
4.6. Корабельные волны Кельвина . .............................................................. . 293
4.7. «Корабельные волны» в бозе-эйнштейновском конденсате . .................... . 298
4.8. Оптико-механическая аналогия . ............................................................ . 302
4.9. Движение волновых пакетов вдоль крупномасштабных волн . ................ . 306
4.9.1. Движение пакета вдоль простой волны . ...................................... . 307
4.9.2. Распространение пакета по волне разрежения . ............................ . 309
4.9.3. Движение пакета по локализованному импульсу . ........................ . 312
4.9.4. Движение пакета по волне, описываемой общим решением . ........ . 314
4.10. Лучевая теория и сохранение энергии . .................................................. . 317
4.11. Волновое действие . .............................................................................. . 319
4.11.1. Сохранение волнового действия . .............................................. . 319
4.11.2. Волновое действие для линейного уравнения КдФ . .................. . 320
4.12. Заключение. .......................................................................................... . 321
Гл а в а 5. Нелинейность и дисперсия: солитоны ..................................... . 322
5.1. Уравнение Кортевега–де Фриза . ............................................................ . 323
5.1.1. Вывод уравнения Кортевега–де Фриза для волн на мелкой воде . . 324
5.1.2. Кноидальная волна и солитон . .................................................... . 329
5.1.3. Устойчивость солитона КдФ . ...................................................... . 333
5.2. Нелинейное уравнение Шрёдингера . ...................................................... . 336
5.2.1. Периодическая волна и темный солитон для дефокусирующего
НУШ . ...................................................................................... . 337
5.2.2. Энергия и импульс темного солитона . ........................................ . 340
5.2.3.Мелкие солитоны . ...................................................................... . 343
5.2.4. Фокусирующее нелинейное уравнение Шрёдингера . .................... . 345
5.3. Солитоны обобщенного НУШ . .............................................................. . 348
5.3.1. Темные солитоны обобщенного НУШ . ........................................ . 348
5.3.2. Светлые солитоны обобщенного НУШ . ...................................... . 349
5.3.3. Критерий Вахитова–Колоколова для устойчивости светлых
солитонов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
5.4. «Косые» солитоны . ................................................................................ . 355
5.5. Уравнение Кадомцева–Петвиашвили . .................................................... . 358
5.6. Изгибная неустойчивость солитона КдФ . .............................................. . 360
Стр.8
8
Оглавление
5.7. Изгибная неустойчивость темного солитона НУШ . ................................ . 364
5.7.1. Уравнения для возмущений солитонного решения . ...................... . 364
5.7.2. Интервал волновых чисел неустойчивых мод . ............................ . 366
5.7.3. Инкремент роста неустойчивых мод при p pc ......................... . 368
5.7.4. Интерполяционная формула для инкремента неустойчивых мод . . . 370
5.8. Конвективная неустойчивость косых солитонов . .................................... . 371
5.9. Солитон как частица. ............................................................................ . 374
5.9.1. Теорема Эренфеста . .................................................................. . 375
5.9.2. Движение яркого солитона НУШ под действием потенциала . .... . 376
5.9.3. Внутренняя динамика солитона . ................................................ . 379
5.10. Темный солитон как квазичастица. ........................................................ . 382
5.10.1. Темный солитон для уравнения Гросса–Питаевского . ................ . 382
5.10.2. Динамика темных солитонов на переменном фоне . .................... . 384
5.11. Уравнение Бенджамена–Оно . ................................................................ . 392
5.12. Условия для формирования солитона из начального импульса . .............. . 395
5.13. Заключение. .......................................................................................... . 397
Гл а в а 6. Нелинейные волновые уравнения в физике............................. . 399
6.1. Волны на мелкой воде . .......................................................................... . 399
6.1.1. Решение Рэлея . .......................................................................... . 399
6.1.2. Уравнения Серра . ...................................................................... . 402
6.2. Уравнения для волн в двухкомпонентном конденсате с учетом дисперсии 405
6.2.1. Основные уравнения и линейные волны . .................................... . 406
6.2.2. Волны плотности: уравнение КдФ . ............................................ . 408
6.2.3. Волны поляризации: уравнение КдФ . ........................................ . 410
6.2.4. Волны поляризации: уравнения мКдФ и Гарднера . ...................... . 410
6.3. Волны поляризации при близких значениях нелинейных постоянных . .... . 412
6.3.1. Приближение нелинейного уравнения Шрёдингера . .................... . 415
6.3.2. Приближение Каупа–Буссинеска . .............................................. . 416
6.3.3. Периодические и солитонные решения для волн поляризации . .... . 416
6.4. Нелинейное уравнение Шрёдингера . ...................................................... . 419
6.4.1. Эволюция электромагнитного импульса в нелинейной среде . ...... . 419
6.4.2. Волны в цепочке связанных маятников . ...................................... . 422
6.4.3. Распространение пакета волн на мелкой воде . ............................ . 430
6.4.4. Волны на глубокой воде . ............................................................ . 433
6.5. Нелинейное уравнение Шрёдингера с производной. ................................ . 436
6.5.1. Бездисперсионный предел, характеристические скорости
и римановы инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
6.5.2.Модуляционная неустойчивость плоских волн . .......................... . 439
6.5.3. Нелинейные волны с малой амплитудой . .................................... . 440
6.6. Заключение. .......................................................................................... . 442
Гл а в а 7. Теория модуляций Уизема......................................................... . 443
7.1. Общаяидеятеории Уизема . .................................................................. . 443
7.2. Модуляция линейной волны в теории линейного уравнения Клейна–
Гордона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
7.3. Модуляция волн в теории нелинейного уравнения Клейна–Гордона . ...... . 449
Стр.9
Оглавление
9
7.4. Вариационный подход к теории модуляций . .......................................... . 455
7.5. Усреднение лагранжиана для уравнения КдФ . ...................................... . 457
7.6. Дисперсионная ударная волна и теория Уизема . .................................... . 460
7.7. Теория модуляций для уравнения Бенджамена–Оно. .............................. . 463
7.7.1. Периодическое решение . ............................................................ . 463
7.7.2.Модуляции периодических решений уравнения Бенджамена–Оно 465
7.7.3. Задача о «разрушении плотины» в теории уравнения БО . ............ . 469
7.7.4. Уравнение Бенджамена–Оно–Бюргерса . ...................................... . 471
7.8. Заключение. .......................................................................................... . 476
Гл а в а 8. Теория модуляций для уравнения Кортевега–де Фриза ......... . 477
8.1. Модуляционные уравнения Уизема для уравнения Кортевега–де Фриза . . 477
8.2. Подход Гуревича–Питаевского к теории дисперсионных ударных волн . . . 484
8.3. Обобщенный метод годографа . .............................................................. . 486
8.4. Эволюция начального разрыва. .............................................................. . 489
8.5. Опрокидывание волны с параболическим начальным профилем . ............ . 493
8.6. Опрокидывание волны с кубическим начальным профилем . .................. . 496
8.7. Автомодельное опрокидывание степенных профилей . ............................ . 502
8.7.1. Опрокидывание положительного импульса . ................................ . 504
8.7.2. Опрокидывание отрицательного импульса . .................................. . 508
8.8. Движение краев дисперсионной ударной волны . .................................... . 511
8.8.1. Положительный импульс . .......................................................... . 512
8.8.2. Число солитонов, образующихся из положительного импульса . . . 515
8.8.3. Отрицательный импульс . ............................................................ . 516
8.9. Отрицательный импульс: солитонный край . .......................................... . 519
8.10. «Квазипростая» дисперсионная ударная волна (отрицательный импульс) 522
8.10.1. Формулировка задачи . .............................................................. . 522
8.10.2. Решение при t< tm ................................................................. . 526
8.10.3. Решение при t> tm ................................................................. . 528
8.10.4. Движение краев дисперсионной ударной волны . ........................ . 529
8.11. Теория Уизема для уравнения КдФ с возмущением . .............................. . 532
8.12. Стационарные ударные волны в системах с диссипацией . ...................... . 533
8.13. Генерация дисперсионных ударных волн течением мимо препятствия . .... . 537
8.13.1. Течение в бездисперсионном (гидравлическом) приближении . . . 537
8.13.2. Транскритическое течение в приближении КдФ . ...................... . 541
8.14. Заключение. .......................................................................................... . 546
Гл а в а 9. Метод конечнозонного интегрирования и теория Уизема ....... . 547
9.1. Полная интегрируемость уравнения КдФ. .............................................. . 547
9.1.1. Уравнение Ламе . ........................................................................ . 547
9.1.2. Зонная структура уравнения Ламе . ............................................ . 549
9.1.3. Уравнение КдФ как условие совместности двух линейных
óðàâнений .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
9.1.4. Иерархия КдФ и законы сохранения . ........................................ . 554
9.1.5. Уравнение КдФ как гамильтонова система . ................................ . 559
9.1.6. Периодическое решение уравнения КдФ . .................................... . 563
9.1.7. Периодические решения иерархии КдФ . ...................................... . 566
Стр.10
10
Оглавление
9.1.8. Другой вывод уравнений Уизема . .............................................. . 568
9.2. Схема Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сегюра . ............................................ . 571
9.2.1. Уравнение Каупа–Буссинеска как условие совместности линейных
систем . .................................................................................... . 571
9.2.2. Общая формулировка матричной схемы . .................................... . 571
9.2.3. Нелинейные уравнения в схеме Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сегюра 573
9.3. Функция Бейкера–Ахиезера и уравнения Дубровина . ............................ . 577
9.3.1. Скалярная спектральная задача . ................................................ . 577
9.3.2. Матричная спектральная задача . ................................................ . 580
9.3.3. Связь матричной и скалярной спектральных задач . .................... . 581
9.4. Уравнения Уизема в схеме АКНС . ........................................................ . 582
9.4.1. Невозмущенные уравнения . ........................................................ . 582
9.4.2. Возмущенные уравнения . .......................................................... . 584
9.5. Асимптотическая формула Карпмана . .................................................... . 590
9.6. Заключение. .......................................................................................... . 591
Гл а в а 10. Теория модуляций для нелинейного уравнения Шрёдингера
593
10.1. Задача Захарова–Шабата. ...................................................................... . 593
10.2. Периодические решения . ...................................................................... . 594
10.3. Уравнения Уизема . ................................................................................ . 600
10.4. Эволюция начальных разрывов . ............................................................ . 602
10.5. Задача о поршне . .................................................................................. . 608
10.6. Задача о равноускоренном поршне . ........................................................ . 610
10.7. Квазипростые дисперсионные ударные волны. ........................................ . 615
10.8. Асимптотические формулы для числа солитонов . .................................. . 619
10.9. Течение конденсата мимо препятствия . .................................................. . 624
10.9.1. Широкое препятствие . .............................................................. . 624
10.9.2. Узкое препятствие . .................................................................. . 631
10.9.3. Течение конденсата мимо препятствия при учете диссипации . . . 636
10.10. Заключение. .......................................................................................... . 643
Г л а в а 11. Теория модуляций для уравнения Гарднера........................... . 644
11.1. Периодические решения . ...................................................................... . 645
11.2. Спектральная параметризация периодических решений . ........................ . 650
11.3. Основные структуры . ............................................................................ . 654
11.3.1. Кноидальные боры . .................................................................. . 654
11.3.2. Волны разрежения . .................................................................. . 655
11.3.3. Солиборы (α> 0) . .................................................................... . 655
11.3.4. Тригонометрические боры (α< 0) . ............................................ . 656
11.4. Классификация структур при эволюции разрыва . .................................. . 659
11.4.1. Классификация структур при α> 0. ........................................ . 660
11.4.2. Классификация структур при α< 0. ........................................ . 662
11.5. Заключение. .......................................................................................... . 662
Гл а в а 12. Теория модуляций для нелинейного уравнения Шрёдингера
спроизводной ....................................................................................... . 664
12.1. Основные определения . ........................................................................ . 664
Стр.11
Оглавление
11
12.2. Периодические решения . ...................................................................... . 666
12.3. Уравнения Уизема . ................................................................................ . 671
12.4. Элементарные волновые структуры . ...................................................... . 673
12.4.1. Волны разрежения . .................................................................. . 673
12.4.2. Кноидальные дисперсионные ударные волны . ............................ . 676
12.4.3. Тригонометрические дисперсионные ударные волны . ................ . 679
12.4.4. Составные ударные волны . ...................................................... . 680
12.5. Классификация волновых структур . ...................................................... . 682
12.6. Заключение. .......................................................................................... . 686
Гл а в а 13. Теория модуляций для уравнения Ландау–Лифшица ........... . 687
13.1. Основные определения и закон дисперсии линейных волн . .................... . 687
13.2. Периодические решения . ...................................................................... . 688
13.3. Уравнения Уизема . ................................................................................ . 695
13.4. Элементарные структуры. ...................................................................... . 697
13.4.1. Плато и волны разрежения . ...................................................... . 698
13.4.2. Кноидальные дисперсионные ударные волны . ............................ . 703
13.4.3. Контактные дисперсионные ударные волны . .............................. . 708
13.5. Классификация волновых структур . ...................................................... . 715
13.5.1. Сектор НУШ-типа . .................................................................. . 715
13.5.2. Сектор КБ-типа . ...................................................................... . 717
13.5.3. Волновые структуры, соответствующие переходам между
ñåêòîðàми монотонности .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718
13.6. Заключение. .......................................................................................... . 720
Гл а в а 14. Общая теория дисперсионных ударных волн ......................... . 721
14.1. Квазипростые дисперсионные ударные волны и условие Гуреви÷à–
Мещеркина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722
14.2. Движение краев дисперсионной ударной волны . .................................... . 724
14.2.1. Уравнение для малоамплитудного края . .................................... . 724
14.2.2. Движение солитонного края . .................................................... . 727
14.3. Эволюция начального разрыва. .............................................................. . 728
14.3.1. Обобщенное уравнение КдФ . .................................................... . 730
14.3.2. Уравнение Серра . .................................................................... . 731
14.3.3. Обобщенное уравнение Гросса–Питаевского . ............................ . 736
14.4. Распространение краев квазипростой дисперсионной ударной волны. ...... . 739
14.4.1. Обобщенное уравнение КдФ: положительный импульс . ............ . 739
14.4.2. Обобщенное уравнение КдФ: отрицательный импульс . .............. . 741
14.4.3. Уравнения Серра: положительный импульс . .............................. . 743
14.4.4. Уравнения Серра: отрицательный импульс . .............................. . 746
14.4.5. Обобщенное уравнение Гросса–Питаевского: положительный
èìпульс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749
14.4.6. Обобщенное уравнение Гросса–Питаевского: отрицательный
èìпульс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750
14.5. Число солитонов, порождаемых интенсивным импульсом . ...................... . 751
14.5.1. Общая теория . ........................................................................ . 751
14.5.2. Обобщенное уравнение КдФ . .................................................... . 753
Стр.12
12
Оглавление
14.6. Интегральный инвариант Пуанкаре–Картана и правило квантования
Бора–Зоммерфельда . ............................................................................ . 755
14.6.1. Течение в виде простой волны . ................................................ . 757
14.6.2. Общее течение гладкой части импульса . .................................. . 760
14.7. Скорость асимптотических солитонов . .................................................. . 761
14.8. Распределение солитонов по скоростям: простая волна. .......................... . 763
14.8.1. Обобщенное уравнение КдФ . .................................................... . 763
14.8.2. Обобщенное нелинейное уравнение Шрёдингера: простая волна 763
14.9. Распределение солитонов по скоростям: произвольный начальный импульс 764
14.9.1. Нелинейность вида f(ρ)= ρ ..................................................... . 764
14.9.2. Не керровская нелинейность . .................................................. . 765
14.10. Заключение. .......................................................................................... . 768
Приложение A. Формулы изтеории эллиптических функций . . . . . . . . . . 769
Список литературы ..................................................................................... . 777
Стр.13