Практикум по математическому анализу (500,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

О. Н. БЫКОВА, С. Ю. КОЛЯГИН, Б. Н. КУКУШКИН ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Учебное пособие Москва 2020

Стр.1

УДК 378(076.5):517 ББК 22.161я73-5 Б95 Рецензенты: проф. А. В. Латышев (МГОУ), проф. Е. В. Веретенникова (МПГУ). Б95 Быкова О.Н. Практикум по математическому анализу: Учебное пособие / О. Н. Быкова, С. Ю. Колягин, Б. Н. Кукушкин. – 3-е издание, исправленное и дополненное. – М.: Прометей, 2020. – 276 с. Данное учебное пособие может служить студентам математических и физико-математических факультетов педагогических вузов руководством к практическим занятиям по курсу математического анализа. Оно будет также полезно молодым преподавателям при подготовке и проведении семинаров по данной учебной дисциплине. ISBN 978-5-907244-62-7 © О.Н. Быкова, С.Ю. Колягин, Б.Н. Кукушкин, 2020 © Издательство «Прометей», 2020

Стр.2

СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ……………………………………………..…………. 7 Тема 1. Действительные числа. Модуль действительного числа........ 9 Тема 2. Метод математической индукции…………………..…........... 12 Тема 3. Ограниченность числовых множеств. Границы и грани……. 14 Тема 4. Функция. График функции…………………………………… 16 Тема 5. Основные типы поведения функций…………………………. 19 Тема 6. Основные элементарные функции. Частичное исследование функций………………………………………………………… 23 Тема 7. Линейные и модульные преобразования графиков……….… 26 Тема 8. Сложная функция. «Сложение» и «умножение» графиков… 28 Тема 9. Обратная функция и её свойства……………………………... 31 Тема 10. Числовая последовательность…………………..…………... 34 Тема 11. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей………………………………… 37 Тема 12. Вычисление пределов последовательностей……………….. 41 Тема 13. Предел функции. Теоремы о пределах функций…......……. 43 Тема 14. Вычисление пределов функции. Первый замечательный предел…………………………………………………………. 45 Тема 15. Вычисление пределов с использованием «табличных» пределов………………………………………………………. 48 Тема 16. Сравнение бесконечно малых. Вычисление пределов с помощью сравнения бесконечно малых………………………. 50 Семестровое задание по технике вычисления пределов…..……..….. 54 Тема 17. Односторонние пределы. Предел по множеству…………... 55 Тема 18. Непрерывность функции…………………………..………… 60 Тема 19. Непрерывность сложной и обратной функций…………….. 62 Тема 20. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва…………… 64 Тема 21. Равномерная непрерывность функции на множестве……... 68 Тема 22. Функции, непрерывные на отрезках……………………...… 69 Тема 23. Дифференцируемость и производная………………….…… 71 Тема 24. Табличные производные и правила дифференцирования… 74 Тема 25. Геометрический смысл производной. Касательная и нор3

Стр.3

маль……………………………………………………………. 77 Тема 26. Техника дифференцирования……………………………….. 80 Тема 27. Дифференциал. Применение дифференциала в приближённых вычислениях………………………………………… 84 Тема 28. Основные теоремы дифференциального исчисления……... 86 Тема 29. Производные и дифференциалы высших порядков……….. 91 Тема 30. Правила Лопиталя. Раскрытие неопределённостей………... 95 Тема 31. Исследование функции на монотонность. Экстремум…….. 99 Тема 32. Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба……………………………………………………….. 103 Тема 33. Полное исследование функции и построение её графика…. 106 Тема 34. Наименьшее и наибольшее значения функции……....…….. 110 Тема 35. Формула Тейлора…………………………………………….. 114 Тема 36. Геометрические и физические приложения производной… 117 Тема 37. Первообразная и неопределённый интеграл………..……… 120 Тема 38. Вычисление неопределённых интегралов заменой переменной и по частям…………………………………………... 124 Тема 39. Интегрирование рациональных функций…………………... 128 Тема 40. Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей…………………………………………………………. 132 Тема 41. Интегрирование тригонометрических выражений………… 136 Семестровое задание по технике интегрирования………..……….…. 139 Тема 42. Интегральная сумма Римана. Суммы Дарбу. Определённый интеграл………………………………………………………. 141 Тема 43. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница…………………………………………........... 144 Тема 44. Вычисление определённых интегралов по частям и заменой переменной…………………………………………….… 147 Тема 45. Вычисление площадей плоских фигур……………………... 151 Тема 46. Вычисление длин плоских кривых………………………….. 156 Тема 47. Вычисление объёмов и площадей поверхностей тел вращения……………………………………………………………… 160 Тема 48. Физические приложения определённого интеграла……….. 167 Тема 49. Несобственные интегралы……………………...............…… 171 Тема 50. Исследование сходимости несобственных интегралов…… 176 4

Стр.4

Тема 51. Числовые ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Сравнение положительных рядов…………………………… 180 Тема 52. Признаки Даламбера и Коши…………………………...…… 183 Тема 53. Интегральный признак сходимости. Критерий Коши…...… 186 Тема 54. Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница……………….. 187 Тема 55. Абсолютная и условная сходимости………………………... 189 Тема 56. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость функциональной последовательности…………. 191 Тема 57. Равномерная сходимость функциональных рядов. Свойства равномерно сходящихся рядов непрерывных функций......... 195 Тема 58. Степенные ряды. Промежуток сходимости………………… 197 Тема 59. Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора.……… 201 Тема 60. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов. Некоторые приложения степенных рядов………………….. 205 Тема 61. Ряды Фурье. Разложение функций в ряд Фурье…………… 208 Тема 62. Неполные ряды Фурье. Разложение по косинусам и синусам……………………………………………………………... 212 Тема 63. Точечные множества на плоскости и в пространстве. Функции нескольких переменных…………………………... 215 Тема 64. Предел функции нескольких переменных………………….. 220 Тема 65. Непрерывность функции нескольких переменных………... 223 Тема 66. Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных………………………………………... 226 Тема 67. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Производная по направлению. Градиент…………………… 231 Тема 68. Формула Тейлора для функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности……………..… 236 Тема 69. Экстремум функции нескольких переменных……………... 239 Тема 70. Наименьшее и наибольшее значения функции двух переменных………………………………………………………… 243 Тема 71. Неявные функции…………………………………………….. 246 Тема 72. Двойной интеграл. Сведение двойного интеграла к повторному……………………………………………...…………….. 248 Тема 73. Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам…………………………………………. 252 5

Стр.5

Тема 74. Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла………………………………………………...… 255 Тема 75. Вычисление объёмов пространственных тел с помощью двойного интегралов…………………………………………. 257 Тема 76. Вычисление площадей поверхностей с помощью двойного интеграла……………………………………………………… 258 Тема 77. Тройной интеграл.…………..................................................... 259 Тема 78. Криволинейный интеграл. Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегрирования…………………. 264 Тема 79. Формула Грина. Вычисление площадей плоских фигур с помощью криволинейного интеграла………………………. 267 Тема 80. Физические приложения кратных и криволинейных интегралов………………………………………………………….. 271 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………..……………………...…. 275 6

Стр.6