УДК 539.3:624.04
DOI: 10.18698/2308-6033-2021-9-2108
Структурный анализ траекторий случайных процессов,
сформированных в нелинейных
виброзащитных системах
2Национальный исследовательский университет «МЭИ», Москва, 111250, Россия
© А.С. Гусев1, Л.В. Зинченко1, С.А. Стародубцева2
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В задачах проектирования технических конструкций безопасность работы их элементов
является основополагающим принципом. В связи с этим актуально предложенное
новое решение задачи о структурном анализе траекторий негауссовских
стационарных процессов, ориентированное на получение исходной информации для
расчета прочностной надежности элементов конструкций, находящихся в процессе
эксплуатации под воздействием случайных нагрузок. Проанализирован подход,
позволяющий решить проблему учета статистической зависимости между процессами
и их производными, несмотря на явную их некоррелированность. Рассмотренный
подход может найти применение при проектировании виброзащиты транспортных
машин, для того чтобы вычислять вероятность пробоя амортизатора,
вероятность потери контакта колеса с дорогой и др. Надежность функционирования
таких систем определяется как вероятность непревышения абсолютным максимумом
процесса в течение определенного интервала времени заданного нормативного
уровня. Представлен расчет надежности с применением структурного
анализа на примере одномерной стохастической системы.
Ключевые слова: вероятностная характеристика, случайный процесс, прочностная
надежность
Введение. Решение проблемы обеспечения надежности и долговечности
элементов конструкций на стадии их проектирования связано
со структурным анализом траекторий случайных процессов,
в результате которого определяются характеристики циклов процессов
нагружения и появляется возможность проводить расчеты на
усталостную долговечность и трещиностойкость [1–5]. Все эти задачи
для линейных систем в целом решены, тогда как для нелинейных
систем при их решении возникают трудности, которые в данной работе
в определенной степени преодолены.
Постановка задачи. Рассматривается задача о структурном анализе
траекторий негауссовских случайных процессов, ориентированном
на расчетное прогнозирование надежности функционирования
нелинейных виброзащитных систем, которые находятся в эксплуатации
под воздействием внешних случайных нагрузок. Пример такой
системы с резиноподобным амортизатором хода и амортизируемой
массой m показан на рис. 1.
Упругая характеристика амортизатора, приведенная на рис. 2,
описывается следующими соотношениями:
Инженерный журнал: наука и инновации # 9·2021
1
Стр.1
А.С. Гусев, Л.В. Зинченко, С.А. Стародубцева
Fv G hv
Fu G
v
h
u
;
1 ,
(1)
(2)
где G — вес амортизируемой массы; u(t) — изменение длины упругого
элемента на момент времени t, u(t) = h – v(t).
Рис. 1. Схема системы виброзащиты:
h — предельно допустимое смещение; W(t) — кинематическое
случайное одностороннее возмущение системы;
v — смещение массы m вниз от положения статического
равновесия
а
б
Рис. 2. Упругая характеристика амортизатора,
соответствующая формуле (1) — а и формуле (2) — б
В положении статического равновесия v = 0, u = h. При малом
Fv ,сv где c — жесткость упругого элемента, cG /.h
ωo /;
gh
Структурный анализ траекторий случайных процессов. При
решении поставленной задачи за неизвестную целесообразно принять
функцию u(t), а не v(t), так как u ∈ (0, ∞), a v ∈ (–∞, ∞), что при расчете
предпочтительнее. Эту функцию будем искать в виде нелинейного
2
Инженерный журнал: наука и инновации # 9·2021
ходе амортизатора (v << h) характеристика (1) становится линейной
вида
При этом квадрат частоты свободных колебаний системы 2
g = 9,81 м 2/c [6].
Стр.2
Структурный анализ траекторий случайных процессов…
алгебраического α-преобразования гауссовского стационарного процесса
x(t) c дисперсией 2,xs т. е. в виде
ut α .x t
Здесь для величины x плотность распределения вероятностей
fx ,
2πs
1 exp
α-преобразование примем в виде
αη
exp
xt
h
где коэффициент η и дисперсия 2
,
(4)
sx для x(t) — константы, зависящие
от вероятностных характеристик внешнего воздействия f(t).
Из (3) и (4) следует, что среднее значение для u и его плотность
вероятностей можно определить по формулам:
uh sx
h
2π
2
fu hh u
s
u .
2
su
exp
x
ln
2
2 x
η
(5)
Из условия динамического равновесия системы следует, что
дифференциальное уравнение для определения функции u(t) можно
представить в виде
uu u f ,
2ε
φ
S f
t
где ε — коэффициент демпфирования; φ uF
m
и спектральной плотностью ω .
x xx f ,
J
2ε ω
2
*
g
h
exp
sx
h
2
2
*
ω .exp
2
;
J
2
2
3
sx
h
Инженерный журнал: наука и инновации # 9·2021
t
ции x(t) [7, 8]:
где
1 f(t) =
u ,
(6)
Wt —
гауссовский стационарный процесс с заданной корреляционной функцией
τxK
Применив (4) и (6), получим уравнение для определения функ1
2
exp 2 ;
2
x x
x
2s
2
(3)
Стр.3