УДК 532.65/534-141
DOI: 10.18698/2308-6033-2021-8-2099
Равновесие и колебания свободной поверхности жидкого
топлива в коаксиально-цилиндрических сосудах
в условиях микрогравитации
© Юй Чжаокай, А.Н. Темнов
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Представлено решение задачи о равновесии и малых колебаниях идеальной жидкости
в условиях микрогравитации. Дана количественная оценка влияния таких параметров,
как угол смачивания, число Бонда, соотношение радиусов внутренней и
внешней стенки сосуда, глубина жидкости в нем. Для сосудов в форме коаксиального
цилиндра получены выражения потенциала скоростей жидкости и поля смещения
свободной поверхности в виде ряда Бесселя. Дополнительно к аналитическим
и экспериментальным данным, приведенным в литературе, доказана
достоверность разработанного численного алгоритма и сделан вывод о том, что
при неизменном физическом состоянии смачиваемой подля
Bo 5> и δ 0, 2>
верхности форма свободной поверхности приближается к плоской и угол смачивания
мало влияет на собственные частоты колебаний свободной поверхности
жидкости. Полученные результаты будут полезны при решении задач по определению
гидродинамических характеристик движения жидкого топлива в условиях
космического пространства.
Ключевые слова: микрогравитация, сила поверхностного натяжения, капиллярная
жидкость, коаксиальный цилиндр, метод Рунге — Кутты, ряд Бесселя
Введение. В баках современных космических аппаратов содержится
значительная часть жидкого топлива. При проектировании подобных
транспортных средств инженерам и конструкторам полезно
знать конфигурацию и поведение поверхности раздела жидкости —
газа в условиях микрогравитации, для того чтобы более точно описать
динамические процессы в космических аппаратах при выполнении
различных маневров. Следует заметить, что плескание жидкости
может приводить к изменению положения центра масс, а значит, повлиять
на устойчивость передвижения космических аппаратов. В российских
и зарубежных монографиях [1–3] обобщены результаты
исследования статики и динамики жидкости в условиях, близких
к невесомости. Анализ приведенных в статьях [4–6] методов показывает,
что в современной гидромеханике невесомости недостаточно
полно разработаны методы численного моделирования поведения
жидкости в двухсвязных сосудах. В статьях [7–10] представлены
приближенные методы вычисления частот и форм колебаний жидкости
в сосудах, имеющих форму кругового цилиндра и сферы, котоИнженерный
журнал: наука и инновации # 8·2021
1
Стр.1
Юй Чжаокай, А.Н. Темнов
рые часто применяются в ракетно-космической технике. Следует отметить,
что в последнее время стали использовать двухсвязные топливные
баки более сложной формы — в виде коаксиального цилиндра
и тороидальные, однако в них поведение жидкости с учетом
капиллярного эффекта еще недостаточно исследовано.
Цель настоящей работы — представить исследование равновесия
и колебаний жидкости с учетом силы поверхностного натяжения в
сосудах, имеющих форму коаксиального цилиндра. В статьях [11, 12]
было рассмотрено решение задачи о равновесии жидкости в коаксиальном
цилиндре в условиях невесомости и микрогравитации, но без
учета влияния внутренней стенки сосуда, а в [13–16] приведено исследование
колебаний капиллярной жидкости в круговом цилиндре
на основе ряда Бесселя.
Определение форм равновесной свободной поверхности.
В условиях микрогравитации 64 0gg)−−= −
(
(10 10 ) поведение жидкого
топлива определяют силы поверхностного натяжения, иначе —
межмолекулярные силы на границе двух фаз. Вектор ускорения g
действует параллельно продольной оси симметрии сосуда. Введем
цилиндрическую систему координат θ,Or z в которой будет представлено
поперечное сечение сосуда (рис. 1). Используем длину дуги s
в качестве переменной для описания формы свободной поверхности.
Рис. 1. Основные обозначения параметров жидкости и система координат θ:Or z
z min — наименьшая высота свободной поверхности; maxz — наибольшая высота свободной
поверхности; 0 ()
zr — равновесная свободная поверхность; (,θ, )fr t — отклонение возмущенной
свободной поверхности от равновесной; γ — линия смачивания; Ω — область,
которую занимает жидкость; 1r — радиус внутренней стенки сосуда; 2r — радиус внешней
стенки сосуда; 0h — глубина жидкости около внутренней стенки сосуда
2
Инженерный журнал: наука и инновации # 8·2021
Стр.2
Равновесие и колебания свободной поверхности жидкого топлива…
Для того чтобы приступить к исследованию колебаний капиллярной
жидкости, необходимо предварительно решить задачу о форме
равновесной свободной поверхности. Вывод условий равновесия
гидромеханической системы газ — жидкость — твердая стенка и алгоритм
решения задачи подробно рассмотрены в [17].
Запишем уравнение невозмущенной свободной поверхности
жидкости в безразмерной форме:
2 р Bo ,
H = + С
где Hр 12 / 2kk= + — средняя кривизна равновесной свободной
(
)
поверхности ( 1k и 2k — главные кривизны поверхности);
2 2
Bо ρ /σgr= — число Бонда, характеризующее соотношение массовой
силы и силы поверхностного натяжения (ρ — плотность жидкости,
σ — коэффициент поверхностного натяжения раздела жидкости — газа);
С — константа, определяемая физическими параметрами задачи и
формой сосуда, которая зависит от начала системы координат.
осесимметричной поверхности определяется выражением
(
2,1
1
H =
р
где ( ) —r
( ) —ss
r dr +
2
d rzrs s ssrz r z )
z
zr
= +− ss s
r
(2)
первая производная функции по координате ;r ( )s и
первая и вторая производные функции по длине дуги s .
Используя уравнения (1)–(2), получим систему дифференциальr
u z v u v zC v u zC
rr
ss s
= = = − +− = +− (3)
;
Bo
v
;
s
Bo
v
.
ных уравнений, описывающих равновесную свободную поверхность:
;
При произвольном значении числа Bo система уравнений (3) не
r 0 δ; 0 0; 0 sin α ; 0 cos α ;
r s ( )00 ( )0
( ) = zu v
( )
( ) =
где δ = rr/
1
0
( ) =
1;
= v s = cos α
( ) ( )00( )
,
= −
(4)
2; α — угол смачивания; 0 s — общая длина дуги.
При интегрировании системы уравнений (3) с граничными усло0
( )
виями (4) необходимо определять константу C , которая при Bo 0=
имеет аналитическую формулу [1]
Инженерный журнал: наука и инновации # 8·2021
C = 2cosα / 1 δ− , а при других
3
имеет аналитического решения и решается методом Рунге — Кутты
при условиях:
В цилиндрической системе координат Or θz средняя кривизна
(1)
Стр.3