МИНИCTEPCTBO ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Е. Н. Новикова, О. Л. Серветник
КОМПЬЮТЕРНАЯ ОБРАБОТКА
РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Направление подготовки 23.03.01 – Технология транспортных
процессов
Профиль подготовки «Организация и безопасность движения»
Квалификация выпускника – бакалавр
Ставрополь
2017
Стр.1
УДК 004.3 (075.8)
ББК 32.81 я73
Н 73
Печатается по решению
редакционно-издательского совета
Северо-Кавказского федерального
университета
Рецензенты:
д-р экон. наук, профессор А.В. Шуваев
канд. техн. наук, доцент Е.И. Николаев
Новикова Е. Н., Серветник О. Л.
Н 73 Компьютерная обработка результатов измерений: учебное
пособие. – Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2017. – 182 с.
Пособие посвящено основным методам статистической обработки
результатов измерений средствами компьютерных технологий.
Включает в себя девять глав и примеры с их подробным разбором
и решением.
Предназначено для бакалавров по направлению подготовки
23.03.01 – Технология транспортных процессов.
УДК 004.3 (075.8)
ББК 32.81 я73
© ФГАОУ ВО «Северо-Кавказский
федеральный университет», 2017
2
Стр.2
ВВЕДЕНИЕ
Современный специалист, независимо от конкретной области
его деятельности все чаще сталкивается, как при проведении научных
исследований, так и при практической реализации их результатов,
с необходимостью постановки, проведения экспериментов и
статистического анализа экспериментальных данных.
Кроме того, сложность и дороговизна проведения эксперимента
в области проектирования и технологии физико-химических
процессов, а также современных электронных средств, требует широкого
применения методов обработки результатов эксперимента,
методов моделирования процессов и статистических методов обработки
результатов измерения.
В пособии рассматриваются основные методы обработки экспериментальных
результатов: методы первичной обработки данных,
корреляционный анализ, регрессионный анализ, дисперсионный
анализ. Дается обзор основных методов компьютерной обработки
результатов измерений.
На множестве различных примеров проиллюстрированы основные
методы статистической обработки и анализа экспериментальных
результатов.
Учебное пособие состоит из девяти глав. Первая глава посвящена
основным положениям теории ошибок, которые возникают
при измерениях в исследованиях. Важность учета таких ошибок
очевидна. Во второй главе рассматриваются основы теории вероятности
и математической статистики, в третьей и четвертой главах
рассматривается методы первичной статистической обработки экспериментальных
данных: определению эмпирических функций распределения
и числовых характеристик. В третьей главе изложены
основные походы точечных и интервальных оценок экспериментальных
данных и методы их проверки. Математические методы
построения математических моделей экспериментальных результатов
и методы регрессионного, корреляционного и дисперсионного
анализов представлены в четвертой главе.
3
Стр.3
1. ИЗМЕРЕНИЯ И ИХ ПОГРЕШНОСТИ
План
1.1. Классификация ошибок.
1.2. Случайные ошибки.
1.3. Формула Гаусса для распределения вероятностей случайных
ошибок.
1.4. Функция ошибок. Вероятная ошибка. Средняя и средняя
квадратичная ошибки
1.5. Определение меры точности по результатам эксперимента.
1.6. Методы исключения грубых ошибок.
1.1. Классификация ошибок
Как известно, результаты измерений и эксперимента подвержены
некоторым ошибкам.
Ошибкой измерения называется разность х-а между результатом
измерения х и истинным значением а измеряемой величины
(исключения составляют измерения известных величин, проведенные
со специальной целью исследования ошибок измерения,
например для определения точности измерительных приборов). Одной
из основных задач математической обработки результатов эксперимента
является оценка истинного значения измеряемой величины
по полученным результатам. [11]
Рассмотрим классификацию ошибок измерения. Существуют
три типа ошибок: грубые, систематические и случайные ошибки.
Грубые ошибки (промахи) возникают вследствие нарушения
основных условий измерения или в результате недосмотра эксперимента
(например, при плохом освещении вместо «3» записывают
«8»). При обнаружении грубой ошибки результат измерения следует
сразу отбросить, а само измерение повторить (если это возможно).
Внешним признаком результата, содержащего грубую ошибку,
является его резкое отличие по величине от результатов остальных
измерений.
Систематические ошибки. Иногда в проведенной серии измерений
удается выделить такие причины ошибок, эффект действия
которых может быть рассчитан. Систематические ошибки могут
возникать в результате приборной погрешности и модельной погрешности.
4
Стр.4
Приборная погрешность. Систематическая погрешность,
присутствующая в результатах измерений, выполненных с помощью
любого измерительного прибора, как правило, неизвестна и не
может быть учтена. Ее можно оценить только путем сравнения показаний
прибора с показаниями другого, более точного. Иногда результаты
специально проведенного сравнения приводят в паспорте
прибора, однако чаще указывают максимально возможную погрешность
для приборов данного типа.
Модельная погрешность. В основу любого экспериментального
исследования, сопряженного с измерениями, заложена модель.
Модель содержит наиболее важные параметры исследуемого объекта
или процесса, которыми могут быть величины, непосредственно
измеряемые в ходе эксперимента, и величины, значения которых
требуется определить, исходя из всей совокупности экспериментальных
данных. В итоге модель представляет собой математическую
конструкцию, базирующуюся на физических представлениях.
Только на основании эксперимента можно сделать обоснованное
заключение о приемлемости описания полученных данных с
помощью использованной теоретической модели.
С другой стороны, неверно построенная модель, в которой не
нашли отражения какие-то важные процессы или факторы, влияющие
на результат измерений, также приводит к несоответствиям.
Как следствие, измеряемые в эксперименте величины, вычисляемые
по полученным из модели рабочим формулам, содержат погрешности,
которые носят название модельных погрешностей. В эксперименте
лабораторную установку стараются поместить в такие условия,
которые были бы максимально близки к требованиям модели.
Однако полностью исключить несоответствие модели и экспериментальной
ситуации удается далеко не всегда.
В качестве модельной погрешности, например, можно рассматривать
неучтенное изменение напряжения на исследуемом с применением
вольтметра участке электрической цепи. Оно возникает изза
шунтирования цепи внутренним сопротивлением вольтметра.
Отклонение результатов измерений можно компенсировать введением
поправок к показаниям вольтметра, но существеннее другое –
при наличии в цепи вольтметра, как следствие, изменяются электрические
процессы в ней. Значит, первоначальная модель процессов
в этой цепи, не рассматривающая включение вольтметра, может
оказаться неточной.
5
Стр.5
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………
1. ИЗМЕРЕНИЯ И ИХ ПОГРЕШНОСТИ ………………………....
1.1. Классификация ошибок ………………………………………..
1.2. Случайные ошибки …………………………………………......
1.3. Формула Гаусса для распределения вероятностей случайных
квадратичная ошибки ………………………………………………...
1.5. Определение меры точности по результатам эксперимента ...
1.6. Методы исключения грубых ошибок ………………………....
2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ …………
2.1. Основные понятия теории вероятностей. Случайные события.
2.2. Случайные величины …………………………………………..
2.3. Числовые характеристики случайных величин ………………
2.4. Законы распределения дискретных и непрерывных
случайных величин …………………………………………………...
3. ПЕРВИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ……………………………...
3.1. Простая статистическая совокупность ………………………..
3.2. Статистическое распределение………………………………...
3.3. Графическое изображение статистического распределения …
3.4. Эмпирическая функция распределения ……………………….
3.5. Числовые характеристики статистического распределения …
4. МЕТОДЫ РАСЧЕТА СВОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ВЫБОРКИ …………………………………………………………..
4.1. Метод произведений вычисления выборочных средней и
дисперсии ……………………………………………………………..
4.2. Метод сумм вычисления выборочных средней и дисперсии ..
4.3. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения ………
3
4
4
6
ошибок …………………………………………………………............
1.4. Функция ошибок. Вероятная ошибка. Средняя и средняя
8
12
14
18
22
22
32
35
42
55
55
56
58
61
63
70
70
73
75
179
Стр.179
5. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН …………………...
5.1. Точечная оценка числовой характеристики. Свойства
80
точечной оценки ……………………………………………………...
5.2. Методы получения точечных оценок ………………………...
5.3. Интервальная оценка числовой характеристики случайной
ожидания нормального распределения ……………………………..
5.5. Доверительные интервалы для оценки дисперсии
6. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ………………...
6.1. Статистическая гипотеза. Основные этапы проверки
гипотезы ………………………………………………………………
6.2. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных
совокупностей ………………………………………………………..
6.3. Сравнение выборочной средней с гипотетической
совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки)..
6.5. Проверка гипотезы о нормальном распределении
генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона ………….
7. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ……………………….
7.1. Корреляционный анализ. Коэффициент линейной
корреляции двух исследуемых величин …………………………......
7.2. Критерий независимости и силы линейной связи для двух
нормально коррелированных величин ………………………………
7.3. Множественная линейная корреляция ……………………….
величины ……………………………………………………………...
5.4. Доверительный интервал для оценки математического
нормального распределения ………………………………………….
генеральной средней нормальной совокупности ……………………
6.4. Сравнение двух средних нормальных генеральных
80
82
86
87
91
93
93
98
99
102
104
111
111
114
115
180
Стр.180
8. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ …………………………………..
8.1. Отыскание параметров эмпирических формул методом
наименьших квадратов ……………………………………………….
8.2. Отыскание параметров линейной функции. Построение
линейной регрессии …………………………………………………..
8.3. Отыскание параметров квадратичной функции. Нелинейная
регрессия ……………………………………………………………...
8.4. Множественная регрессия …………………………………….
9. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
И ОПТИМИЗАЦИЯ ………………………………………………….
9.1. Методология планирования эксперимента ……………………
9.2. Полный факторный эксперимент ……………………………..
9.3. Дробный факторный эксперимент ……………………………
ЛИТЕРАТУРА ……………………………………………………....
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 …………………………………………………...
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 …………………………………………………...
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 …………………………………………………...
ПРИЛОЖЕНИЕ 4 …………………………………………………...
ПРИЛОЖЕНИЕ 5 …………………………………………………...
130
130
134
140
145
146
169
176
177
178
117
117
120
126
128
181
Стр.181