РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
2017, том 4, выпуск 4, c. 83–88
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ КОСМИЧЕСКИМИ АППАРАТАМИ,
ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ И СИСТЕМЫ ТЕЛЕМЕТРИИ
УДК 629.7.052
Метод аналитического расчета вероятности
символьной и битовой ошибок сигнала
самплитудно-фазовой манипуляцией в нелинейном канале
А. П.Струков, workbox69@gmail.ru
АО «Российские космические системы», Москва, РоссийскаяФедерация
Аннотация. Рассмотрен известный метод аналитического расчета верхнего предела вероятности символьной и битовой ошибок
сигнала с амплитудно-фазовой манипуляцией (АФМ) в канале с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ). Показано
влияние нелинейных амплитудных и амплитудно-фазовых (АМ/АМ и АМ/РМ) искажений по модели Салеха, возникающих
в усилителе мощности, на созвездие АФМ. Разработана компьютерная модель оценки вероятности символьной и битовой ошибок
соответствующей системы. Предложен метод аналитического расчета вероятности символьной и битовой ошибок сигнала
с АФМ с учетом амплитудных и амплитудно-фазовых искажений в канале с АБГШ. Проведено сравнение результатов аналитического
расчета с результатами компьютерного моделирования. Использование предложенного метода требует значительно
меньших трудозатрат, полученные результаты с высокой точностью совпадают с результатами компьютерного моделирования.
Ключевые слова: спутниковая связь, модуляция, АФМ, аналитический расчет, усилитель мощности, нелинейные искажения,
вероятность битовой ошибки, АБГШ
A Method of Analytical Calculation of SER and BER
for APSK Modulation in the Nonlinear Channel with AWGN
A.P. Strukov, workbox69@gmail.ru
Joint Stock Company “Russian Space Systems”, Moscow, Russian Federation
Abstract. The paper studies a well-known method of analytical calculation of the upper probability limit of SER and BER for
amplitude phase-shift keying (APSK) modulation in the nonlinear channel with additive white Gaussian noise (AWGN). The paper
covers an influence of nonlinear amplitude and amplitude-phase (AM/AM and AM/PM) distortions using the Saleh model, appearing
in the power amplifier, on the APSK constellation. Thus, a computer model of assessment of SER and BER of the system has been
developed. The method of analytical calculation of SER and BER for APSK modulation considering amplitude and amplitude-phase
distortions in the nonlinear channel with AWGN has been suggested. A comparison of the results of analytical calculation with the
results of a computer simulation has been made. The obtained results of the calculations require significantly less working hours
and accurately coincide with the results of computer simulation.
Keywords: satellite communication, modulation, APSK, analytical calculation, power amplifier, nonlinear distortions, BER, AWGN
Стр.1
84
А. П.СТРУКОВ
Введение
Амплитудно-фазовая манипуляция (АФМ) —
это спектрально эффективная схема модуляции высокого
порядка с устойчивостью к нелинейным искажениям
усилителя, разработанная для передачи
информации в спутниковом канале радиосвязи
и используемая в цифровом стандарте спутникового
телевидения второго поколения (DVB-S2) [1].
Общий предел эффективности схемы модуляции
АФМ в канале с белым гауссовским шумом
(АБГШ) был представлен в [2]. Этот предел
определяется как верхняя граница для вероятности
символьной ошибки модуляции АФМ. В [3]
были проанализированы вероятности ошибок для
видов модуляций 16- и 32-АФМ и получены соответствующие
аналитические выражения. Вывод
выражений был основан на симметрии созвездия
и учете только определенных векторов ошибок переходных
вероятностей между символами в одном
квадранте созвездия.
В статье описывается аналитический метод вычисления
вероятности ошибки приема АФМ-сигнала
в канале с АБГШ, основанный на использовании
диаграммы Вороного, с учетом влияния нелинейных
искажений усилителя мощности и использованием
модели Салеха [4].
Вероятность ошибки приема
АФМ-сигнала в канале с АБГШ
Вероятность символьной ошибки для схемы
модуляции М-го порядка определяется следующим
выражением [2]:
P(E)= 1
M
M
i=1
P(E|si)
1
M
от Евклидова расстояния dij и односторонней спектральной
плотности мощности шума N0 как
Однако в выражение (1) включено вычисление
P(si >sj)= Q(dij/2N0).
всех событий с ошибочным определением и число
событий в свою очередь увеличивается с увеличением
порядка модуляции. Более того, в вычислении
будет учитываться большое число пересечений
для области принятия решений, что приведет к росту
различия с реальной вероятностью символьной
ошибки.
Метод, предложенный в [3], учитывает симметрию
созвездия для упрощения выражения (1)
и использует в расчете только определенные связи
переходных вероятностей, чтобы избежать расхождений
с реальной вероятностью ошибки при приеме
сигнала. Построение диаграммы Вороного для
созвездия определяет границы принятия решения
и показывает, какие связи между соседними символами
необходимо учитывать при расчете вероятности
ошибки рис. 1 (на примере символа S1).
Вероятность символьной ошибки записывается
следующим образом [3]:
P(E)= 1
4P(E|s1)+P(E|s2)+P(E|s3)+P(E|s4).
M
i=1
j M
=1,j =i
P(si → sj),(1)
где E обозначает ошибочное событие, P(si → sj) —
Рис. 1. Диаграмма Вороного для созвездия 16АФМ
переходную вероятность, когда переданный символ
si ошибочно определен как sj. M определяет
порядок созвездия. Переходная вероятность может
быть вычислена с использованием функции
РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ т. 4 вып. 4 2017
Стр.2
МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТИ СИМВОЛЬНОЙ И БИТОВОЙ ОШИБОК 85
Рис. 2. Вид нелинейных искажений AM/AM и AM/PM на выходе усилителя мощности в зависимости
от уровня входного сигнала
События ошибок описываются при помощи
соответствующих сумм переходных вероятностей
(см. рис. 1):
P(E|s1)= P(s1→s2)+ P(s1→s3)+ P(s1→s4)+
+ P(s1→s5)+ P(s1→s7);
P(E|s2)= P(s2→s1)+ P(s2→s6)+ P(s2→s3);
P(E|s3)= P(s3→s2)+ P(s3→s1)+ P(s3→s4);
P(E|s4)= P(s4→s1)+ P(s4→s3)+ P(s4→s8).
Выражение для вероятности битовой ошибки
hij
мингово расстояние между символами si и sj.
log2M,где hij —хэмможет
быть получено умножением каждой из переходных
вероятностей на
Влияние нелинейных искажений
Для определения искажений АМ/АМ
и АМ/РМ в усилителе мощности можно воспользоваться
моделью Салеха [4]. Входной сигнал
xi(t)= ri cos(2πfct+ϕi) проходит через усилитель,
и выходной сигнал записывается как
si(t)= A(ri)cos 2πfct + ϕi +Ф(ri),
где ri и ϕi — модулированные амплитуда и фаза
соответственно. A(ri) и Ф(ri) представляют
АМ/АМ- и АМ/РМ-искажения и описываются
следующими зависимостями (см. рис. 2):
A(ri)= 2ri/(1 + r2
Ф(ri)= 2πr2
i ),
Режим работы усилителя мощности с рабоi
/{6(1 + r2
i )}.
чей точкой в точке насыщения соответствует нормированному
входному напряжению, равному 1.
На рис. 3показаныточки созвездия 16АФМвлинейном
режиме без искажений и при смещении
символов созвездия под действием нелинейности,
рабочая точка выбрана в 8 дБ от точки насыщения.
Отношения радиусов точек созвездия АФМ после
прохождения через модель нелинейности нормируются
таким образом, чтобы средняя энергия символа
устанавливалась равной единице:
γn1 = Rn2/Rn1,
Ens =(1 + 3γn21)Rn21/4 = αnRn21 = 1.
(2)
Смещение точек созвездия приводит к увеличению
вероятности ошибки в приемнике. Если предположить,
что приемнику точно известны координаты
РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ т. 4 вып. 4 2017
Стр.3
86
А. П.СТРУКОВ
Рис. 3. Влияние искажений в усилителе мощности
на созвездие 16АФМ
искаженных точек и их координаты заложены в алгоритм
принятия решений, то для вычисления вероятности
ошибки можно воспользоваться аналитическими
выражениями из [3]. Однако если в алгоритме
принятия решений не заложена информация
об искажении созвездия, этот расчет приведет
к ошибочным результатам.
В том случае, когда алгоритму принятия решений
неизвестен характер искажений, принятие
решений о каком-либо символе определяется попаданием
его в одну из областей диаграммы Вороного
для неискаженного созвездия.
Вероятность ошибки приема
АФМ-сигнала в канале с АБГШ
сучетом влияния нелинейных
искажений усилителя мощности
В предлагаемом методе расчета для учета
влияния искажений при вычислении вероятности
ошибки необходимо «восстановить» неискаженную
диаграмму Вороного для каждой точки созвездия
рис. 4.
Рис. 4. Нахождение зеркальных точек
Точки на внутреннем радиусе при прохождении
через усилитель мощности приобретают меньшийфазовый
иамплитудныйсдвиг, чем точкина
внешнем радиусе, но для каждой точки соответственно
для внутреннего и внешнего радиусов этот
сдвиг идентичен. Вследствие этого для расчета вероятности
ошибки достаточно провести усреднение
только по точкам из первого квадранта, с учетом
их связей. От искаженной точки в ячейке неискаженной
диаграммы Вороного опускаются перпендикуляры
к граням ячейки и зеркально продолжаются
в прилегающие ячейки, чтобы получить
зеркальные точки (Sn3 → Sn3,1, Sn3 → Sn3,2,
Sn3 → Sn3,4).
Вероятность символьной ошибки искаженного
созвездия описывается следующим выражением:
Pn(E)= 1
где:
4Pn(E|Sn1)+ Pn(E|Sn2)+
+ Pn(E|Sn3)+ Pn(E|Sn4),
Pn(E|Sn1)= Pn(Sn1→Sn1,2)+
+ Pn(Sn1→Sn1,3)+ Pn(Sn1→Sn1,4)+
+ Pn(Sn1→Sn1,5)+ Pn(Sn1→Sn1,7);
РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ т. 4 вып. 4 2017
Стр.4
МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТИ СИМВОЛЬНОЙ И БИТОВОЙ ОШИБОК 87
Рис. 5. Модель системы
Рис. 6. Вероятности битовой ошибки в зависимости от отношения сигнал/шум созвездия 16АФМ
при различных отступах от точки насыщения усилителя
Pn(E|Sn2)= Pn(Sn2→Sn2,1)+
+ Pn(Sn2→Sn2,6)+ Pn(Sn2→Sn2,3);
Pn(E|Sn3)= Pn(Sn3→Sn3,2)+
+ Pn(Sn3→Sn3,1)+ Pn(Sn3→Sn3,4);
Pn(E|Sn4)= Pn(Sn4→Sn4,1)+
+ Pn(Sn4→Sn4,3)+ Pn(Sn4→Sn4,8).
Переходная вероятность с учетом (2) определяется
следующим образом:
dn2
ij
где dnij — евклидово расстояние от искаженного
символа к зеркальному.
Pn(Sni → Sni,j)= Qdnij/2N0 =
= Q⎛⎝Es
N0
2αnRn21⎞⎠ = Q⎛⎝Es
N0
dn2
2 ⎞⎠,
ij
РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ т. 4 вып. 4 2017
Стр.5
88
А. П.СТРУКОВ
Моделирование
Для проверки точности вычисления вероятности
ошибки с помощью предложенного аналитическогометодабыловыполнено
компьютерное моделирование
идентичной системы, приведенной на рис. 5.
На рис. 6 показаны зависимости вероятности
битовой ошибки от отношения сигнал/шум в линейном
режиме и с учетом нелинейных искажений
при приближении рабочей точки усилителя мощности
к точке насыщения. Зависимости получены
при помощи аналитического расчета и при помощи
имитационного моделирования
Как видно из графиков, аналитический расчет
по формулам с применением предложенного метода
дает близкие результаты по сравнению с имитационным
моделированием. Следует отметить, что метод
работает для искаженных точек, находящихся
в пределах ячейки диаграммы Вороного неискаженного
созвездия.
Заключение
В статье предложен простой метод аналитического
вычисления вероятности символьной и битовой
ошибок созвездия АФМ в канале с АБГШ
с учетом влияния искажений усилителя мощности
с использованием неискаженной диаграммы Вороного
и зеркальных точек. Представленный метод
уменьшает трудозатраты при проведении вычислений
и при этом достигает очень близких результатов
с результатами моделирования.
Список литературы
1. Digital Video Broadcasting (DVB); Second generation
framing structure, channel coding and modulation
systems for Broadcasting, Interactive Services, News
Gathering and other broadband satellite applications
(DVB-S2). DVB Document A83 July 2012.
2. Ziemer R. E., Peterson R.W. Introduction to digital
communications. New York, Prentice Hall, 2001,
2nd edition. 905 p.
3. Sung W., Kang S., Kim P., Chang D.-I., Shin J.Performance
analysis of APSK modulation for DVB-S2
transmission over nonlinear channels // International
Journal of Satellite Communications and Networking,
2009, v. 27, № 6. P. 295–311.
4. Saleh A. A.M. Frequency independent and frequency
dependent nonlinear models of TWT amplifiers //
IEEE Trans. Communications, 1981, v. COM-29,
№ 11. P. 1715–1720.
References
1. Digital Video Broadcasting (DVB); Second generation
framing structure, channel coding and modulation
systems for Broadcasting, Interactive Services, News
Gathering and other broadband satellite applications
(DVB-S2). DVB Document A83 July 2012.
2. Ziemer R. E., Peterson R.W. Introduction to digital
communications. New York, Prentice Hall, 2001,
2nd edition, 905 p.
3. Sung W., Kang S., Kim P., Chang D.-I., Shin J.
Performance analysis of APSK modulation for
DVB-S2 transmission over nonlinear channels. International
Journal of Satellite Communications and
Networking. 2009, vol. 27, No. 6, pp. 295–311.
4. Saleh A. A.M. Frequency independent and frequency
dependent nonlinear models of TWT amplifiers. IEEE
Trans. Communications. 1981, vol. COM-29, No. 11,
pp. 1715–1720.
РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ т. 4 вып. 4 2017
Стр.6