Цель ближайших пунктов – описать метрические инварианты (т. е. дать классификацию) разбиений, а затем конечной фильтрации, т. е. конечной убывающей последовательности измеримых разбиений. <...> Случай одного разбиения разобран в известной статье [45], и мы приводим соответствующий результат (немного изменив его формулировку) лишь для удобства дальнейших обобщений. <...> Заметим, что это едва ли не главный оригинальный результат статьи [45]. <...> Метрический инвариант измеримого разбиения ξ в непрерывном пространстве Лебега (X,µ) есть метрический инвариант отображения Vξ : (X/ξ,µξ)→Σ, где (X/ξ,µξ) – факторпространство, µξ – фактормера меры µ при проекции X → X/ξ по разбиению ξ, а отображение Vξ каждому элементу разбиения C ∈ ξ ставит в соответствие упорядоченную последовательность мер атомов m1(C) m2(C) · · · как точку симплекса Σ всех упорядоченных рядов неотрицательных чисел с суммой не больше единицы. <...> Таким образом, два измеримых разбиения пространств Лебега изоморфны, т. е. переводятся одно в другое изоморфизмом пространств с мерой, тогда и только тогда, когда соответствующие им отображения V метрически изоморфны. <...> Но можно пойти дальше и спросить: каковы же метрические инварианты отображения Vξ? <...> Ответ следующий: это Vξ-образ меры µξ, т. е. борелевская мера на симплексе Σ, и так называемые кратности (они нам не понадобятся, поэтому мы отсылаем интересующегося читателя к работе [70], в которой подробно описаны инварианты измеримых отображений – в обобщение работы В.А. Рохлина [46] о классификации функций). <...> Выражаясь не совсем точно, можно сказать, что измеримое разбиение есть случайное пространство с мерой, все реализации которого рассматриваются как непересекающиеся подмножества внутри одного пространства. <...> Прежде чем перейти к случаю нескольких разбиений, приведем ряд классов и примеров разбиений. <...> Если почти все элементы C разбиения ξ изоморфны как пространства с условными мерами µC, т. е. Vξ-образ меры µξ есть дельта-мера <...>