СЕРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ УДК 511.36 В.Г. Чирский Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами дов вида Исследуются арифметические свойства полиадических чисел, т. е. ря∞ n=0 ann!, где числа an ∈ Z и образуют периодическую последовательность {an}. <...> Основные понятия теории полиадических чисел изложены в [2]. <...> Кольцо целых полиадических чисел является прямым произведением колец целых pi-адических чисел Zpi дится в любом кольце Zpi по всем простым числам pi, при этом ряд a схо. <...> Действительно, степень, в которой простое число p входит в разложение числа n! на простые множители, равна (n−Sn)/(p−1), где Sn – сумма цифр в p-ичном разложении числа n. <...> Следовательно, для любого pi при n→∞ справедливо соотношение |ann!|pi →0, что является достаточным условием сходимости ряда (1) в Zpi всем простым числам pi, можно рассматривать как совокупность координат элемента a кольца целых полиадических чисел, представленного в виде вектора. <...> Поэтому для любого многочлена P(x) с целыми коэффициентами полиадическое число P(a) имеет в кольце Zp координату P(a(p)). щую сумму будем обозначать a(pi). <...> Таким образом, бесконечный набор элементов a(pi) ∈ Zpi В.Г. Чирский, 2017 c , соответствую, соответствующих Том 81, № 2, 2017 216 В.Г. ЧИРСКИЙ Назовем полиадическое число a алгебраическим, если существует отличный от нуля многочлен P(x) с целыми коэффициентами такой, что полиадическое число P(a) равно нулю, т. е. для любого простого числа p в кольце Zp выполнено равенство P(a(p)) = 0. <...> Полиадическое число, которое не является алгебраическим, естественно называть трансцендентным полиадическим числом. <...> В этом случае для любого отличного от нуля многочлена P(x) с целыми коэффициентами существует хотя бы одно простое число p такое, что в кольце Zp выполнено неравенство P(a(p)) = 0. <...> Будем называть <...>