ТОМ 29 ВЫПУСК УДК 519.115+519.719.1 1 ∗ 2017 DOI https://doi.org/10.4213/dm1409 Об оценке уровня аффинности квадратичных форм © 2017 г. А. В. Черемушкин∗ Уровень аффинности двоичной функции определяется как минимальное число переменных, произвольная фиксация значений которых делает функцию аффинной. <...> Обобщенный уровень аффинности определяется как минимальное число линейных комбинаций переменных, значения которых можно зафиксировать так, что функция станет аффинной. <...> Для квадратичной формы ранга 2r обобщенный уровень аффинности совпадает с r. <...> Приводятся свойства распределения ранга случайной квадратичной формы и, как следствие, получается асимптотическая оценка обобщенного уровня аффинности квадратичных форм. <...> Распределение ранга квадратичных форм Под квадратичной формой над полем из двух элементов понимается двоичная функция, степень нелинейности многочлена Жегалкина которой не превосходит двух, а свободный член равен нулю. <...> Каждую квадратичную форму от n переменных ранга 2r, 1 ⩽ r ⩽ n 2 , можно линейным преобразованием аргументов привести к виду x1x2 ⊕x3x4 ⊕. <...> Так как вид линейной части l не влияет на значение ранга, то вероятность того, что квадратичная форма от n переменных имеет ранг 2r, определяемая как относительная доля таких форм, можно записать в виде p2r(n) = Qr(n)/2 n(n−1) 2 , где Qr(n) — число однородных квадратичных форм от n переменных ранга 2r. <...> Из описания групп автоморфизмов квадратичных форм (см., например, [1–3]) следует, что число Qr(n) равно Qr(n) = (2n −1) . <...> Верхнюю оценку вероятности p2k(2k) с наперед заданной точностью можно получить путем перемножения только части сомножителей в произведении (8). <...> Поэтому относительная доля квадратичных форм максимального ранга при k > 8 оценивается снизу следующим образом: p2k(2k) > 0, 41942244, (22m)k 22m . <...> Поэтому для n = 2k при k → ∞ доля квадратичных форм ранга, меньшего , стремится к нулю. <...> Оценка математического ожидания ранга квадратичной формы Оценим теперь математическое ожидание ранга случайной квадратичной <...>