ФГУП
Российский федеральный ядерный центр − ВНИИЭФ
А.И. Астайкин, А.П. Помазков
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
РАДИОТЕХНИКИ
Часть вторая
Основы теории сигналов
Под редакцией доктора технических наук,
профессора А.И. Астайкина
Саров 2004
Стр.2
ББК 32.841
А 91
УДК 621.396.1
Астайкин А.И., Помазков А.П. Теоретические основы радиотехники.
Часть вторая. Основы теории сигналов. Саров: ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2004,
332 с.
ISBN 5-9515-0018-4
Во второй части курса «Теоретические основы радиотехники» излагаются основы
теории радиотехнических сигналов. Здесь рассматриваются методы описания и
изучения свойств различных сигналов на временной и частотной осях (во временной
и частотной областях), корреляционный анализ детерминированных и случайных
сигналов, теория модулированных сигналов, сигналов с ограниченным спектром и т.д.
Книга рассчитана на студентов, аспирантов, инженеров и научных сотрудников,
работающих в области радиотехники.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой ННГУ
им. Лобачевского А.В. Якимов; доктор физико-математических наук,
профессор, зав. кафедрой МГУ им. Огарева В.А. Горюнов; доктор физико-математических
наук, профессор, зав. кафедрой МЭИ В.А. Пермяков
ISBN 5-9515-0018-4
© ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2004
Стр.3
Содержание
3
Содержание
Список условных обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1. Радиотехнические сигналы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1. Cигналы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1. Определения: сигнал, сообщение,
информация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2. Математическая модель сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3. Физические характеристики сигналов . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. Основные радиотехнические процессы
при передаче сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1. Порядок обработки сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2. Преобразование сигналов в радиотехнических
системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3. Влияние длины волны на функционирование
радиоканала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3. Классификация сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1. Классификация сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2. Комплексные и вещественные сигналы . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.3. Одномерные и многомерные сигналы . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.4. Детерминированные и случайные сигналы . . . . . . . . . . 23
1.3.5. Непрерывные и импульсные сигналы . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.6. Аналоговые и дискретные сигналы . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.7. Периодические и непериодические сигналы . . . . . . . . . 26
1.3.8. Узкополосные и широкополосные сигналы . . . . . . . . . . 27
2. Представление сигналов во временнóй области . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1. Принципы динамического представления сигналов . . . . . . . . 28
2.1.1. Способы описания сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2. Принципы динамического представления
сигналов во временнóй области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Представление произвольного сигнала с помощью
функции включения Хэвисайда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1. Понятие функции включения Хэвисайда . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2. Представление произвольного сигнала
с помощью функции включения Хэвисайда . . . . . . . . . 32
2.3. Представление произвольного сигнала
посредством дельта-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1. Понятие дельта-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2. Представление произвольного сигнала
с помощью дельта-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.3. Энергетические характеристики сигналов . . . . . . . . . . . 38
Стр.4
4
Теоретические основы радиотехники
2.4. Представление сигналов с помощью
ортогональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.1. Ортогональные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.2. Представление сигналов с помощью
ортонормированных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3. Спектральный анализ сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1. Спектральное представление сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.1. Представление сигналов на временнóй
и частотной осях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2. Спектральное представление сигналов . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2. Преобразование Фурье периодических сигналов . . . . . . . . . . . 47
3.2.1. Периодическая функция
(периодический сигнал) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2. Условия существования
преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.3. Представление периодического сигнала
рядом Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.4. Переход к комплексной форме ряда Фурье . . . . . . . . . . . 50
3.2.5. Распределение мощности в спектре
периодического сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3. Спектральное представление непериодических
сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.3.1. Спектральная плотность непериодического
сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2. Физическая интерпретация спектральной
плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.3. Симметричные свойства амплитудного
и фазового спектров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.4. Сравнение спектров периодического
и непериодического сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4. Некоторые свойства интеграла Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4.1. Комплекснозначность спектральной
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4.2. Изменение пределов интегрирования . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.4.3. Свойства действительной и мнимой частей
спектральной плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4.4. Спектры четных и нечетных функций . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.5. Теорема наложения (линейности) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.6. Теорема запаздывания (смещения сигнала
во времени) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4.7. Теорема смещения (переноса) спектра
по частоте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4.8. Теорема об изменении масштаба времени
(сжатие спектра) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.9. Спектр производной сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.10. Спектр интеграла сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Стр.5
Содержание
5
3.4.11. Спектр скалярного произведения
двух сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.12. Спектр произведения двух сигналов . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.13. Спектральная плотность свертки
двух сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4.14. Энергия непериодического сигнала . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4.15. Симметрия аргументов t и ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.16. Спектр одиночного прямоугольного
видеоимпульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.17. Спектральная плотность δ-функции . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.18. Спектр сигналов в области низких частот . . . . . . . . . . . 72
3.5. Спектры некоторых сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5.1. Спектр последовательности прямоугольных
видеоимпульсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5.2. Спектр последовательности знакопеременных
прямоугольных видеоимпульсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5.3. Спектр последовательности треугольных
видеоимпульсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5.4. Спектр двух видеоимпульсов одной
полярности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5.5. Спектр двух разнополярных видеоимпульсов . . . . . . . . 80
3.5.6. Спектр одиночного видеоимпульса sin ( )cx . . . . . . . . . . 82
3.5.7. Спектр одиночного треугольного
видеоимпульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.5.8. Спектр одиночного трапецеидального
видеоимпульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.5.9. Спектр косинусоидального видеоимпульса . . . . . . . . . . 86
3.5.10. Спектр колоколообразного (Гауссова)
видеоимпульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5.11. Спектральная плотность функции
включения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.6. Спектры неинтегрируемых сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.6.1. Понятие спектра неинтегрируемых сигналов . . . . . . . . 91
3.6.2. Спектр постоянного напряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.6.3. Спектр комплексного экспоненциального
сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.6.4. Спектр гармонического колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.6.5. Спектральная плотность радиоимпульса . . . . . . . . . . . . 96
3.6.6. Связь между спектром радиоимпульса
и спектром его огибающей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.6.7. Спектр промодулированного импульса . . . . . . . . . . . . . 100
3.6.8. Спектр «обрывка» гармонического колебания
(«отрезка» синусоиды) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.7. Соотношение между длительностью сигнала
и шириной его спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Стр.6
6
Теоретические основы радиотехники
3.7.1. Сущность вопроса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.7.2. Общая закономерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.7.3. Определение длительности сигнала
и ширины его спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.8. Распределение энергии в спектрах одиночных
видеоимпульсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.8.1. Расчетные соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.8.2. Расчет ширины первых лепестков спектра . . . . . . . . . . 113
3.8.3. Сравнение импульсов различной формы
по энергиям в полосе частот
первого лепестка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.9. Преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.9.1. Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.9.2. Преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.9.3. Условия существования
изображения Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.9.4. Преобразование Лапласа от производной
сигнала по времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.9.5. Преобразование Лапласа для некоторых
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4. Принципы корреляционного анализа. Энергетические
спектры сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.1. Корреляционный анализ сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.1.1. Импульсные сигналы во временнóй области . . . . . . . . 122
4.1.2. Корреляционный анализ сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2. Автокорреляционная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.1. Автокорреляционная функция импульсных
сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.2. АКФ прямоугольного видеоимпульса . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2.3. АКФ пачки прямоугольных видеоимпульсов . . . . . . . . 129
4.2.4. АКФ треугольного видеоимпульса . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2.5. АКФ экспоненциального видеоимпульса . . . . . . . . . . . 133
4.2.6. АКФ гармонического колебания
и периодической функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.2.7. АКФ прямоугольного радиоимпульса . . . . . . . . . . . . . . 138
4.2.8. Сравнение АКФ импульсного
и периодического сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.3. Взаимная корреляционная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3.1. Взаимная корреляционная функция . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3.2. ВКФ гармонических сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.4. Связь корреляционных функций с энергетическими
спектрами сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.4.1. Энергетический спектр импульсного
сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Стр.7
Содержание
7
4.4.2. Энергетический спектр периодического
сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.4.3. Взаимный энергетический спектр двух
сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.4.4. Связь АКФ с энергетическим спектром . . . . . . . . . . . . 148
4.4.5. Связь ВКФ с взаимным энергетическим
спектром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5. Модулированные сигналы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.1. Понятие несущей частоты и модуляции . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.1.1. Модуляция и демодуляция несущего
колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.1.2. Виды модуляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.1.3. Условия «медленности» модулирующих
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.2. Амплитудно-модулированные сигналы (амплитудномодулированные
колебания) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.2.1. Понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.2.2. Спектральное представление АМК . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2.3. Векторные диаграммы АМК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.2.4. Автокорреляционная функция АМК . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.2.5. Энергетические характеристики АМК . . . . . . . . . . . . . . 171
5.2.6. Амплитудно-манипулированные сигналы . . . . . . . . . . 172
5.3. Сигналы с угловой модуляцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3.1. Виды угловой модуляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3.2. Сигналы с фазовой модуляцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.3.3. Сигналы с частотной модуляцией . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.3.4. Эквивалентность выражений для мгновенных
значений ЧМК и ФМК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.3.5. Сигналы с однотональной УМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.3.6. Сигналы с многотональной УМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.3.7. Спектральное представление сигналов с УМ . . . . . . . . 184
5.3.8. Спектры сигналов с однотональной УМ . . . . . . . . . . . . 186
5.3.9. Спектр колебаний с УМ при малых
индексах модуляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.10. Спектр колебаний с УМ при больших
индексах модуляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.4. Сигналы с внутриимпульсной частотной
модуляцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.4.1. Принципы линейной частотной
модуляции (ЛЧМ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.4.2. Спектр прямоугольного ЛЧМ-импульса . . . . . . . . . . . . 194
5.4.3. Автокорреляционная функция
ЛЧМ-импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6. Сигналы с ограниченным спектром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.1. Сигналы с ограниченным спектром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Стр.8
8
Теоретические основы радиотехники
6.1.1. Характеристики сигналов, простые
и сложные сигналы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.1.2. Сигналы с ограниченным спектром . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.1.3. Примеры сигналов с ограниченным спектром.
Радиотелеграфный сигнал азбуки Морзе . . . . . . . . . . . 202
6.2. Теорема Котельникова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.2.1. Теорема Котельникова
и ее физический смысл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.2.2. Обратная задача дискретизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.2.3. Теорема Котельникова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.3. Узкополосные сигналы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.3.1. Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.3.2. Математическая модель
узкополосного сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.3.3. Преобразование Гильберта и его свойства . . . . . . . . . . 217
6.3.4. Огибающая, полная фаза и мгновенная
частота узкополосного сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.3.5. Комплексная огибающая узкополосного
сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.3.6. Спектр комплексной огибающей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.3.7. Преобразование Гильберта узкополосного
сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.4. Аналитический сигнал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.4.1. Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.4.2. Основные свойства аналитического
сигнала и комплексной огибающей . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.4.3. Теорема Котельникова для узкополосного
сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7. Основы теории случайных сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.1. Элементы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.1.1. Случайные сигналы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.1.2. Случайные события, вероятность
события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.1.3. Классификация случайных событий . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.1.4. Аксиомы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.1.5. Действия над вероятностями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.2. Случайные величины и их характеристики . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.2.1. Случайная величина (СВ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.2.2. Вероятностные (статистические)
характеристики СВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.2.3. Функции распределения вероятностей . . . . . . . . . . . . . 242
7.2.4. Плотность вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.2.5. Многомерные функции распределения . . . . . . . . . . . . . 245
7.2.6. Независимость случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.2.7. Усреднение случайных величин и функций . . . . . . . . . 248
Стр.9
Содержание
9
7.2.8. Числовые (моментные) характеристики
случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.2.9. Дисперсия случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.2.10. Моменты совокупности двух
случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
7.2.11. Некоторые законы распределения . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.2.12. Комплексная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . 258
7.2.13. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . 258
7.3. Функции от случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.3.1. Функции от случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.3.2. Характеристическая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.3.3. Преобразование одномерных функций
распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.3.4. Преобразование двухмерных функций
распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.3.5. Преобразование многомерных функций
распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
7.3.6. Среднее значение функции от случайных
величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.3.7. Среднее значение и дисперсия суммы
случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
7.3.8. Функция распределения модуля и фазы
случайного вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
7.4. Случайные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
7.4.1. Сигналы как случайные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
7.4.2. Реализации, ансамбль реализаций,
сечение ансамбля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.4.3. Интегральные функции распределения . . . . . . . . . . . . . 270
7.4.4. Плотность вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.4.5. Некоторые свойства вероятностных
характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
7.4.6. Моментные и корреляционные функции
случайных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.4.7. Классификация случайных процессов . . . . . . . . . . . . . . 276
7.4.8. Нормальные случайные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
7.5. Основы корреляционной теории стационарных
случайных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.5.1. Корреляционная теория стационарных СП . . . . . . . . . . 282
7.5.2. Моментные и корреляционные функции
стационарных СП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.5.3. Некоторые свойства корреляционной
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
7.5.4. Теорема Винера – Хинчина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.5.5. Интервал корреляции и эффективная
ширина спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Стр.10
10
Теоретические основы радиотехники
7.6. Аналитические случайные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
7.6.1. Комплексное представление СП . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
7.6.2. Некоторые свойства аналитических СП . . . . . . . . . . . . 298
7.6.3. Распределения огибающей и фазы
аналитического СП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
7.7. Некоторые примеры стационарных
случайных процессов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
7.7.1. Случайный модулированный сигнал . . . . . . . . . . . . . . . 304
7.7.2. Квазибелый шум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
7.7.3. Белый шум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
7.7.4. Высокочастотный квазибелый шум . . . . . . . . . . . . . . . . 308
7.7.5. Гармонический процесс со случайной
начальной фазой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
7.8. Узкополосные стационарные случайные процессы . . . . . . . . 310
7.8.1. Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
7.8.2. Некоторые примеры узкополосных СП . . . . . . . . . . . . . 311
7.8.3. Математическая модель узкополосного СП . . . . . . . . . 314
7.8.4. Статистическая задача описания
узкополосного СП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7.8.5. Порядок решения задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
7.8.6. Определение огибающей и фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
7.8.7. Свойства сопряженного СП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
7.8.8. Представление огибающей квадратурными
составляющими . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.8.9. Распределение квадратурных
составляющих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
7.8.10. Совместное распределение
огибающей и фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
7.8.11. Одномерные плотности вероятности
огибающей и фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
7.8.12. Одномерное распределение фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
7.8.13. Одномерное распределение огибающей . . . . . . . . . . . 327
7.8.14. Огибающая и фаза суммы гармонического
сигнала и шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
Стр.11
7. Основы теории случайных сигналов
329
а
Рис. 7.33
Пусть на выходе избирательной цепи действуют узкополосный нормальный
шум ()
nt и гармонический сигнал ()s t
0
m
nt A t=ω +ϕ =
() ( )cos ; () ()sin ;
CS
ξ= + = +
ts t
() 00 0t
At A t=ϕ =CS ϕ
( ) () () ( mC S
()cos[
t A t( )cosω −t A t()sin ;ω ⎫
A t A t
s tA t=ω() cos ;
]
t
⎪
⎬
⎪
⎭
n t A A t( ))cosω − A t( )sin ,ω t 00 (7.8.76)
где ()tξ − узкополосный нормальный СП, представляющий собой сумму гармонического
сигнала ()s t и узкополосного нормального шума ().tθ
Ставится задача определений огибающей и начальной фазы узкополосного
нормального СП ()tξ (7.8.76).
Переобозначим в ()tξ (7.8.76) медленные функции следующим образом:
ξ= ω + θ =()]t U t( )cos ( );ψ t
ψ =ω+ϕ =ω+θ t
( ) ()cos[
tU t
0t
() 00 ( );
Ut CSU t U t=+( 22)
tt t
Ut U t=θt
Ut A t A U t
CC m) ()cos ( ); Ut A t U t
At U t=θt A−
() ( ( )
=+ =
C () ( )cos ( ); Ut U t
θ t SS
() ();
=
() ( )cos ( )
At U t=θt
Cm;
S () ( )sin ( ),
где Ut A t A A t=+ +Cm S ( )
чальная фаза; At и ()S
() ( ( )
C ()
)
S () ()sin ( );
θ t
() () ( )sin ( );
t
(7.8.77а)
(7.8.77б)
(7.8.78а)
(7.8.78б)
= =θ (7.8.79)
(7.8.80а)
(7.8.80б)
22 − огибающая СП ()tξ (7.8.77); ()tθ − его наAt
− квадратурные составляющие СП ()
nt и ().tξ
Совместное распределение огибающей U(t) и начальной фазы θ(t). Совместная
двухмерная ПВ 2(, )CSp AA квадратурных составляющих (7.8.62) равна
(
pACS =
2(, )
A
2πσξ
1 −+ σ22) 22
2 e
AA
CS
.
(7.8.81)
(7.8.74)
(7.8.75)
б
Стр.330
330
Теоретические основы радиотехники
Подставляя сюда At U A=θ−
() cos
2(, )
A
pACS =
1
2πσ
зы ()tθ в координатах U, θ равно
p Up A( , ) ,CS 22 A
(, )
θ=
D
где D − якобиан перехода к новым координатам {U,.
перехода (7.8.80), найдем D
D UU
AA U
∂∂θ
== =
∂
∂∂ ∂ (cosθ−
(cos
UU
U
sin
ACC m
∂∂θ
SS
)
==
θθ
cosθ −θ
U cos
sin
pU θ=(, )
2
U
2πσ
∂ ∂θ ∂θ)
∂
(U cos
∂θ
∂θ
U.
Следовательно, совместная двухмерная ПВ 2(, )pU θ равна
22
2 e
− +− θ
σ
UAmm
2
2cos
2
A U
.
(7.8.85)
Одномерное распределение огибающей (),Ut закон Райса. В результате
интегрирования распределения 2(, )pU θ (7.8.85) по формуле (7.8.64) получаем
одномерное распределение огибающей 1(),
p U называемое законом Райса
pU UUmAI
− +
UAm
10⎜⎟;
σσ
() 22 U 0,≥
⎝⎠
=
где IU mA σ − модифицированная функция Бесселя (функция от мнимо0(/2
2
)
го
аргумента) нулевого порядка. Графики 1()p U закона Райса приведены на
рис. 7.34 в координатах {
СП (),tξ
pU U σ где () 22
1(), / , UASm S − огибающая
}
α= = σ При α= 0, когда Am 0= (отсутствует регулярный сигнал
(7.8.74)), закон Райса автоматически переходит в закон Рэлея (7.8.66).
UA
U
Cm .
ш
=+A A+
σ 2 − дисперсия СП ().nt ПВ (7.8.86) верны только для U 0≥ (как и
закон Релея (7.8.66)). Параметрами на графиках рис. 7.34 является отношение
e
22
2 2
σ ⎛⎞
2
(7.8.86)
A UA UA) ( cosθ− m)
∂
∂
(7.8.84)
(7.8.83)
θ} Используя формулы
2 e
Cm, At U=
UAmm
2
S () sin ,θ найдем совместную
двухмерную ПВ 2(, ),CSp AA выраженную в координатах {U, }θ
22 A U
− +− θ
σ
2cos
2
,
(7.8.82)
где U − огибающая; θ − начальная фаза; 2σ − дисперсия шума ().nt
Совместное двухмерное распределение 2(, )pU θ огибающей ()
Ut и фа
Стр.331
7. Основы теории случайных сигналов
331
Рис. 7.34
⎛⎞
>>
⎜⎟
⎝⎠
U
U
C 1.
ш
Рассмотрим интересный случай большого сигнала U >> σ или mA >> σ
2
В этом случае =+ A() 2
A A ≈
+
0(/2
)
гумент модифицированной функции Бесселя IU mA σ становится большим,
UAm /2 2 1.σ>> Можно воспользоваться асимптотическим представлениUAmC
S m и mA >>σ. При этом ар2
ем
функции 0()I x при больших 0x >>1
I AU A U σ2
2 2/
0⎜⎟
σ
⎝⎠ πσ 2/
⎛⎞mm== .
πU σ
2
exp( / ) e
2
UAm
При этом закон Райса переходит в нормальный закон
p ()
U ~
σπ
1 e,
2
− UAm−
σ
2
()
2
где mA − среднее значение амплитуды.
Закон Райса (7.8.86) при больших значениях m
AU
2
(7.8.88)
= >> σ нормализуетсигнала
(),s t
Ut с ростом отношения // /mm nAA UC ш нормализуется и уже
α= σ = σ =
ξ
U
σ=σ шума ().nt Из этого следует, что закон Райса (7.8.86) для огибающей
()
22
n
ся в закон (7.8.88). Здесь mA − среднее значение СП ()tξ (7.8.77) (или математическое
ожидание этого СП).
Из формулы (7.8.88) видно, что при больших амплитудах регулярного
Ut результирующего процесса ()tξ
Amn ,
>σξ = σ огибающая ()
(7.8.77) распределена нормально со средним значением mA m и дисперсией
ξ
ξ =
AU σ
m / 2
(7.8.87)
Стр.332
332
при
Теоретические основы радиотехники
α> 3 этот закон можно считать нормальным (рис. 7.34). В связи с этим
полезно отметить, что для закона Рэлея 22
σ= σ а для нормального заA
0,429 ,ξ
кона, в том числе и для закона Райса при больших mnA >σ и 22,Anσ =σ т.е. наложение
большого гармонического сигнала с амплитудой mA приводит к росту
дисперсии огибающей 2
но тем не менее флуктуации шума падают и оказывают малое влияние на регулярный
сигнал ().s t Действительно, для одного шума
σσ
Для нормального же процесса (7.8.88) 22,σ= ξσ поэтому 2 1/ 0,429 2,33.
σ=σ → все флуктуации
A
σ= =
ξσξ
A
Однако при больших mA отношение // 0,mA mAAξ
происходят возле среднего значения mA и составляют малую долю на фоне
амплитуды mA регулярного сигнала ().s t
Одномерное распределение фазы 1().
p θ Одномерное распределение фазы
p 1()
θ получится путем подстановки совместного двухмерного распределения
(7.8.85) в формулу (7.8.63). Распределение
1()p θ при различных
отношениях
=UUш гдеUA
C /,
=
α Amn /=σ =
Cm , U ш −
СКО шума (),nt приведено на
рис. 7.35. Это распределение
меняется от равномерного при
α 0,=
ния типа δ-функция при больших
UC
0= до распределеα
1,>> т.е. при большом
регулярном сигнале ()s t с амплитудой
mC
AU (так назы=
Рис.
7.35
процесса ()tξ
ваемая мерцающая точка). В
этом случае начальная фаза
колебаний ()tθ
случайного
ϕ 0 большого гармонического сигнала ()s t [12] (на рис. 7.35 принято 0 0).
(7.8.77) целиком и полностью определяется начальной фазой
ϕ =
22 0,429.
()
AA
t
==
σA суммарного сигнала (7.8.77) примерно в 2,5 раза,
22
Стр.333
Список литературы
333
Список литературы
1988.
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа,
2. Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Назаров М.В., Финк Л.М. Теория передачи
сигналов. М.: Связь, 1980.
3. Харкевич А.А. Основы радиотехники. М.: Радио и связь, 1962.
4. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и
связь, 1986.
5. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях.
Том 1. Основные принципы и классические методы. М.: Мир, 1983.
6. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях.
Том 2. Техника обработки сигналов. М.: Мир, 1983.
7. Черный Ф.Б. Распространение радиоволн. М.: Сов. радио, 1962.
8. Хармут Х. Теория секвентного анализа. Основы применения. М.:
Мир, 1980.
9. Зернов Н.В., Карпов В.Г. Теория радиотехнических цепей. Л.: Энергия,
1972.
10. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2. М.: Наука. 1974.
11. Ицхоки Я.С. Импульсные устройства. М.: Сов. радио, 1959.
12. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М.: Физматгиз, 1962.
13. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Сов. радио,
1971.
14. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Часть 1. М.:
Сов. радио, 1966.
15. Гуревич М.С. Спектры радиосигналов. М.: Связьиздат, 1963.
16. Математический энциклопедический словарь. М.: Сов. Энциклопедия,
1983.
17. Жуков В.П., Иванова Н.Н., Николаев А.Н. Радиотехнические цепи и
сигналы. Учебное пособие. М: МЭИ, 1977.
18. Зиновьев А.Л., Филиппов Л.И. Введение в теорию сигналов и цепей.
М.: Высшая школа, 1975.
19. Варакин Л.В. Теория сложных сигналов. М.: Сов. радио, 1970.
20. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.:
Сов. радио, 1966.
21. Агранович М.Г., Лунц Г.Л., Эсгольц А.Э. Функции комплексного
переменного. Операционное исчисление. М.: Наука, 1966.
22. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Сов. радио, 1966.
23. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
М.: Высшая школа, 1972.
24. Мирский Г.Я. Аппаратурное определение характеристик случайных
процессов. Л.: Энергия, 1972.
25. Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи. Учебное пособие
для вузов / Под ред. И.С. Гоноровского. М.: Радио и связь, 1989.
Стр.334
334
Список литературы
26. Евсиков Ю.А., Обрезков Г.В., Разевич В.Д., Чапурский В.В., Чиликин
В.М. Прикладные математические методы анализа в радиотехнике / Под
ред. Г.В. Обрезкова. М.: Высшая школа, 1985.
27. Евсиков Ю.А., Чапурский В.В. Преобразование случайных процессов
в радиотехнических устройствах. М.: Высшая школа, 1977.
Стр.335
Теоретические основы радиотехники
А.И. Астайкин, А.П. Помазков
Часть вторая
Основы теории сигналов
Редактор Н.П. Мишкина
Корректор Н.Ю. Костюничева
Компьютерная подготовка оригинала-макета Н.Ю. Солук
Подписано в печать 12.03.2003
Формат 70х108/16
Усл. печ. л. 29 Уч. изд. л. 21 Тираж 300 экз. Зак. тип. 1110-2003
ПД № 00568 от 22.05.2000
Отпечатано в ИПК ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ
607190, г. Саров Нижегородской обл.
Стр.336