УДК 517.9 ОЦЕНКИ ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА* Ю. Н. Синтяев Воронежский государственный университет В статье рассматриваются оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с ограниченными операторными коэффициентами. <...> Получена оценка d 2 нормы обратного к оператору L=() : 2 dt At W H L Lpp p +Г Ж 2 (, Рассматривается линейный дифференциальный оператор L=() : dt At W H L Lpp p +Г Ж d 2 2 =( , ) , pŒ• (, ) 2 , (1) действующий в банаховом пространстве LL Hpp [1, ], измеримых по Бохнеру функций, определённых на вещественной оси , со значениями в комплексном гильбертовом пространстве H и суммируемых со степенью p (существенно ограниченных при p = • ). <...> Операторнозначная функция AEndH считается принадлежащей банахову пространству CEndH b (, ) , где EndH — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в H . <...> Символом x p (xxt p = К Л Œ • Œ lp Б Ъ обозначается норма функции xLp 1/ p Œ () dt˜ p ˆ ¯ , xLpŒ ; xvraisup x t • tŒ обозначим пространство последовательностей / p обозначается через B p ll H x H pp =( , )= :Ж Ф П М pŒ• •• Ж•. (, ) интерес[1, ), ll H x H x • Гильбертово пространство LH2 ные результаты работы связаны с оценкой нормы оператора L-1 2 обратного оператора L-1 в пространстве L• . <...> Сленорму этого оператора в пространстве L2 довательно, такие теоремы дают оценки ограниченных решений уравнения (1). <...> Норма ограниченного оператора BEndLp верна оценка p • £ • ) в L• через его норму в L2 исследован случай дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. <...> Исследование дифференциального оператора (1) можно свести к исследованию дифференциального оператора(см. <...> Из обратимости оператора L слеL , причём Ker ˆ {}L = 0 . pp 1 ¥ГIm ˆ Доказательство. <...> Очевидно, что равенство L = {0} следует из обратимости оператора L . <...> Нетрудно убедиться в том, что существует такое число K >0, что ts stt , tt обозначим семейство ¥ЖEndH , () — оператор Коши(см. <...> Оператор B корректно определён <...>