Математика, 2005, ¹1 УДК 517.95 ОБ ОЦЕНКЕ РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ НА ГРАФЕ С СОИЗМЕРИМЫМИ РЕБРАМИ А. В. <...> Копытин Воронежский государственный университет ребрами Рассматривается задача Коши для волнового уравнения на графе Г с соизмеримыми tt =∆ , uu (0) , (0) ,==′ uu Γ ∆ доказывается ограниченность всех решений задачи (1), (2) и устанавливается соответствующая оценка. <...> Гиперболические уравнения на сетях (геометрических графах) и соответствующие спектральные задачи интенсивно изучаются уже более 20 лет. <...> Установлены осцилляционные свойства спектра краевой задачи на сети (см. <...> [2, 10]), найдены условия существования и единственности решения задачи Коши (см. <...> ). В настоящей работе доказывается ограниченность решения волнового уравнения на графе с соизмеримыми ребрами для симметрического оператора ЛапласаБельтрами и устанавливается соответствующая оценка. <...> Пусть X банахово пространство и L X банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X . <...> Ct x непрерывна по t при любом Линейный оператор ⊂→:( )AD A X X с областью определения () нератором КОФ C если © Копытин А. В., 2005. <...> С каждой КОФ будем связывать сильно непрерывную синус-функцию (СОФ) S , определяемую как t St x C s xds x X t=∈ ∈¡. <...> Функции, представимые в виде (3), называются обобщенными решениями задачи (1), (2) (cлово «обобщенное» мы будем опускать в дальнейшем). <...> Рассмотрим геометрический граф Γ связное множество в ¡N , представляющее собой объединение конечного числа криволинейных отрезков {}n 179 eii =1 , называемых реб:∈−x t xX C t x предел существует 2 (1) (2) где Γ∆ оператор Лапласа-Бельтрами (т.е. оператор взятия второй производной по натуральному параметру вдоль каждого ребра Г). <...> В случае симметрического оператора Γ ϕψ ϕψ ρ ϕψ 180 А. В. Копытин рами графа, точками пересечения которых могут быть лишь их концы, называемые вершинами графа. <...> Множество вершин обозначим буквой V , а их количество m . <...> Через () Iv обозначим множество индексов ребер, примыкающих к v <...>