ВЕСТНИК ВГУ, Серия физика, математика, 2004, ¹1 УДК 517.956 О СЛАБОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА © 2004 В. В. Смагин, М. В. Тужикова Воронежский государственный университет Рассматриваются вопросы слабой разрешимости квазилинейной параболической задачи, заданной в вариационной форме. <...> Полученный результат является обобщением соответствующей теоремы Ж.-Л. <...> Лионса о слабой разрешимости подобной линейной задачи. <...> При изучении начально-краевых задач параболического типа весьма плодотворной является трактовка таких задач в абстрактной вариационной форме (см. <...> ). В настоящей работе приводится обобщение теоремы Лионса о слабой разрешимости линейных вариационных параболических задач на квазилинейные параболические уравнения. <...> Пусть дана тройка сепарабельных гильбертовых пространств VH V′⊂⊂ , где пространство V′ двойственное к V , а пространство H отождествляется со своим двойственным H′ . <...> Для zH выражение (), в силу отождествления HH′≡ , совпадает со скалярным произведением в H . <...> Предположим, что задача (3) имеет два решения 1 () () () (5) Обратим внимание, что в приложениях ft u, содержать производные функв которой 2 ft u t L T V′,∈ , . <...> 154 В. В. Смагин, М. В. Тужикова Возьмем от (5) удвоенную вещественную часть и проведем соответствующие оценки, учитывая (1) и (2). <...> Пусть {}= полная линейно не∞ ii 1 зависимая система элементов в пространстве V . <...> Задача (9) сводится к задаче Коши для конечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих условию Каратеодори. <...> Тогда задача (9) имеет единственное абсолютно непрерывное решение на некотором отрезке [0 ] [0 ] P ортопроектор в пространстве H на m ,⊂ ,tT (см. m [2]). <...> Проводя соответствующие оценки, получим . ut решение задачи (9). <...> О слабой разрешимости нелинейной вариационной задачи параболического типа кой линейно независимой системы элементов {}= , полной в пространстве V , что ( 0)(∃> ∀ ∈ ¥)(∀ ∈mu V )[ umm m V′ ≤ ∞ ii 1 um V′m ]. <...> Тогда для элемента uV′Λ∈ найдутся <...>