ВЕСТНИК ВГУ, Серия физика, математика, 2004, ¹1 УДК 517.925.52 О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ОБЛАДАЮЩЕЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ФУНКЦИЕЙ © 2004 В. К. Евченко Воронежский государственный университет В работе изучается поведение всех решений автономной системы нелинейных дифференциальных уравнений, обладающей направляющей функцией. <...> Приводится простое достаточное условие существования ограниченного решения. <...> Рассмотрим стационарную систему нелинейных дифференциальных уравнений xf() &=, x где x ∈ ¡ вектор с компонентами 1 отображение nn n f:→ fx x,, , f x x,, , 1 n nn x
x,, ; (1) n ¡¡ имеет непрерывные по совокупности переменных компоненты 11 () (). <...> Заметим, что мы не предполагаем выполнения требования единственности и нелокальной продолжимости решений системы (1), что исключает прямое использование теории динамических систем [3]. <...> Изучение качественной картины поведения решений таких систем занимает особое место в общей теории дифференциальных уравнений, связано с именами известных математиков (А. <...> ). Наша цель заключается в описании поведения решений системы (1), при условии существования у системы (1) направляющей функции (определение см. ниже) [2], [4]. <...> Дело в том, что сам метод направляющих функций был предложен М. А. Красносельским и А. И. Перовым в 1958 году [2] для доказательства существования периодических и ограниченных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. <...> В этом случае направляющие функции служат для отыскания периодических и ограниченных решений нелинейных систем дифференциальных уравнений. <...> В настоящей же работе речь идет о применении направляющих функций для изучения поведения всех решений стационарной системы, а также приводится достаточное условие существования ограниченного решения такой системы. <...> Заметим, что чисто внешне метод направляющих функций напоминает метод функций Ляпунова в теории устойчивости (или, скорее, метод функций КрасовскогоБарбашина <...>