ВЕСТНИК ВГУ, Серия физика, математика, 2001, ¹ 2 УДК 517.983 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРНЫХ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ И ЛЕЖАНДРА © 2001 г. М. А. Латынина Воронежский государственный университет Пусть E банахово пространство, A линейный замкнутый оператор с плотной в E областью определения D(A). <...> u′ щую с A операторную функцию Yk(t) такую, 00j m( ) ≤= (6) exp( ) что для любого u0 торной функцией Бесселя (ОФБ), для нее справедлива оценка ляется решением задачи (1), (2). <...> Основываясь на представлении (5), исследуем, как изменяются дифференциальные свойства функции Ym раm. <...> В дальнейшем будут исследованы также дифференциальные свойства операторной функции Лежандра, являющейся разрешаю(t)u0 с ростом парамет(5) 1 Рассмотрим заданную на E, коммутирую∈ D(A) функция Yk (t)u0 яв(t) назовем операdt d Yt u Mt wt u j, 0,1,.,n. −j j Доказательство. <...> После n-кратного интегрирования по частям формулы (5), получим Обозначим через Gk множество операто- Ч−s∫∫∫ . <...> Из представления (7) вытекает n-кратная непрерывная дифференцируемость функции Ym будем иметь 113 Переходим к установлению оценки (6). <...> Рассмотрим сначала случай r = 0, т.е. докажем, что Ym тор A при R( Как доказано в [1], если A ∈ Gk ,A)= ( I A)1 определяемую равенством (5) функцию, можно записать в виде > w имеет резольвенту . <...> Следуя [2], функцию P ||Pm(t)u0 || ≤Mexp(wt). . что для любого u0 ∈ D(A) функция Pm(t)u0 торной функцией Лежандра (ОФЛ), для нее справедлива оценка m(t) назовем опера(11) которых задача (10), (2) равномерно корректна. <...> Сходимость интеграла в (16) обеспечена условием m/2 q > 0. <...> Из этого представления и теоремы 1 вытекает [(m k)/2]-кратная дифференцируемость функции Pg оценку (15). <...> Тогда, определяемая формулой (17) функция u(t), является единственным решением задачи (18), (19). рему <...>