УДК 517.9 ОЦЕНКИ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОДНОРОДНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ В. З. <...> Мешков, И. П. Половинкин Воронежский государственный университет Поступила в редакцию 19.06.2013 г. Аннотация: получены оценки показательного типа (по порядкам многочленов) для сумм модулей коэффициентов однородных многочленов. <...> Abstract: some estimates for the exponential type (in the terms of the orders of the polynomials) for the sums of the absolute values of the coefficients of any homogeneous polynomials were obtained in the paper. <...> ОЦЕНКИ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Случай двух переменных выделен особо, поскольку оценки здесь получаются вполне элементарными методами и являются точными (с точностью до константы). <...> Имеет место неравенство k+m=n Случай многочлена P = (x+iy)n = |akm| 2 · 2n √2π S k=0 n Ck nin−kxkyn−k показывает, что неравенство 2 является точным по степени многочлена P (с точностью до константы). <...> Оценки для коэффициентов однородных многочленов Раскрывая в этом выражении степени по формуле бинома Ньютона, получим, что многочлен P представляется в виде линейной комбинации мономов zj, zl, где j + l = n. <...> С учетом этих равенств многочлен P представляется в виде P = [n/2] k=0 На единичной окружности S, параметризованной с помощью формул x = cosϕ, y = sinϕ, 0 ϕ 2π, многочлен P совпадает с тригонометрическим многочленом P = [n/2] k=0 Отметим, что серия степеней экспонент этого тригонометрического многочлена для четных n состоит из четных чисел n − 2, . . . , 2, 0, а для нечетного n — соответственно из нечетных чисел n,n−2, . . . , 3, 1. <...> В силу известной формулы для суммы биномиальных коэффициентов вклад членов an−2kzn−2k(x2+y2)k = an−2k(x+iy)n−2k(x2+y2)k равен |an−2k|2n−k. <...> Поэтому, используя неравенство Коши-Буняковского, мы получим k+m=n [n/2] k=0 что и доказывает <...>