№ 4 О локализации собственных функций оператора
Лапласа в
прямоугольной области А. Л.
Делицын Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова,
физический факультет, кафедра математики. <...> Рассмотрена
задача о локализации собственных функций оператора Лапласа в
области, состоящей из двух
прямоугольников, связанных
малым отверстием. <...> Доказана
локализация собственной
функции в одной из
подобластей. <...> Оценена
скорость сходимости собственного значения исходной задачи к
собственному значению подобласти. <...> Ключевые слова:
локализация собственных
функций оператора Лапласа,
скорость сходимости собственных значений. <...> Введение
Задача о локализации собственных функций оператора Лапласа была cформулирована в работе [1]. <...> В этой работе были вычислены
собственные функции оператора Лапласа для
ряда областей сложной формы и было показано, что
собственные функции могут быть весьма малы в некоторых
подобластях исходной области. <...> Заметим, что
убывание собственных
функций оператора Шрёдингера исследовалось в большом количестве работ (см., например, [2–4]). <...> Для оператора Лапласа задача о локализации собственных функций в определенных
классах областей рассматривалась в работах [5, 6]. <...> В настоящей работе мы рассматриваем
задачу на
собственные значения для оператора Лапласа с
условиями Дирихле в
прямоугольнике, разбитом на два
меньших прямоугольника, связанных
малым отверстием (рисунок). <...> Получена скорость
сходимости основного собственного
значения данной
задачи к собственному
значению задачи в подобласти. где Ω —
прямоугольник, разбитый на два
прямоугольника Ωa и Ωb , связанных отверстием: Ω={(x, y), (−b<x<a,0<y<1)\Γ} , Γ —
объединение двух
отрезков, параллельных оси y: x =0, 0y c1 и c2 < y < 1. <...> Наша цель — ||u||2 1 0 ||u||2 0 < x2 < a, стремится к бесконечности при условии, что
размер отверстия d =c2 −c1, связывающего два прямоугольника, стремится к нулю. <...> Под локализацией
собственной функции в одной из
подобластей будем понимать <...>