Аспирант и соискатель, № 5, 2014 ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ Физико-математические науки Математика Геометрия и топология Меркулова А.М. <...> ) ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ Приведён пример описанного восьмигранника, объём которого меньше, чем объём правильного октаэдра; посчитан его объём и отношение этого объёма к объёму правильного октаэдра. <...> ABOUT EXTREME PROPERTIES OF REGULAR POLYHEDRONS Аn attached octahedron is exemplified, which has less volume than a right octahedron; its volume is found and the division of these volumes is found too. <...> Известно, что из всех описанных около окружности n-угольников наименьшую площадь имеет правильный n-угольник[1]. <...> Ясно, что аналогичное утверждение для правильных многогранников не может быть верным, так как правильных многогранников всего пять. <...> А верно ли оно для тех n, для которых существуют правильные n-гранники? <...> Цель работы – привести пример описанного n-гранника, объём которого меньше, чем объём правильного n-гранника. <...> Искомый пример построен для восьмигранника (для тетраэдра доказано, что из всех тетраэдров, описанных около сферы, наименьший объём имеет правильный тетраэдр [2];для шестигранника такой пример найти не удалось). <...> Октаэдр можно представить себе составленным из двух пирамид с квадратным основанием; на рисунке 1 это пирамиды EABCD и E1ABCD. <...> 1 Объём октаэдра равен V=4 r3, где r-радиус вписанной сферы. <...> 39 Аспирант и соискатель, № 5, 2014 Если повернуть нижнюю пирамиду относительно её высоты на 450, получится многогранник, изображённый на рисунке 2: Рис. <...> 2 Теперь продолжим грани верхней пирамиды вниз, а нижней – вверх, отрезая тем самым от этого многогранника восемь маленьких пирамид с вершинами A, B, C, D, A1, B1, C1, D1. <...> 3 Этот многогранник имеет восемь граней, описан около такой же сферы, как и октаэдр, а его объём меньше, чем объём октаэдра. <...> 40 Аспирант и соискатель, № 5, 2014 • можно ли этот восьмигранник изменить так, чтобы его объём уменьшился? <...> Введём систему координат так, как показано на рисунке 3 (оси Ох и Оу параллельны <...>