Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка. <...> Метод введения параметра и задача Коши 34 §4. <...> Дифференциальные многочлены и общий метод решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами. <...> 65 3 Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 73 §1. <...> Методы решения произвольных линейных систем с постоянными коэффициентами. <...> Существование и единственность решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. <...> 145 5 Нормальные линейные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами § 2. <...> Исследование задачи Коши для нормальной линейной системы уравнений с переменными коэффициентами. <...> Обобщения простейшей вариационной задачи на случай функционалов более общего интегрального типа. <...> В главе 9 изложены основы классического вариационного исчисления. <...> Если S(t) —неизвестный путь, пройденный точкой за время £, и v(t) — заданная скорость ее движения в момент времени £, то получаем дифференциальное уравнение <> * Как следует из курса анализа, в случае, когда, например, v ( t )— заданная непрерывная функция t > 0, все решения уравнения (1) задаются формулой t S(t) = j v (t )cIt + C, (2) где С — произвольная действительная постоянная. <...> Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция является функцией одной независимой переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнершем. <...> Но для них не всегда можно гарантировать единственность решения. <...> Кроме основных фактов теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в настоящую книгу включены основы теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка и основы вариационного исчисления. <...> С другой стороны, вариационное исчисление является самостоятельной и успешно развивающейся ветвью математического анализа. <...> Уравнение (1) принято еще называть дифференциальным уравнением первого порядка в нормальной форме. <...> С этой целью сопоставим каждой <...>
Курс_дифференциальных_уравнений_и вариационного_исчисления.pdf
В. К. Романко
КУРС
дифференциальных
уравнений
и вариационного
исчисления
6-е издание (электронное)
Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
физико-математических специальностей
высших учебных заведений
Москва
Лаборатория знаний
2020
Стр.2
ББКУДК 517.9
22.161.1
Р69
Романко В. К.
Р69 Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления
/ В. К. Романко. — 6-е изд., электрон. —М. : Лаборатория
знаний, 2020. — 349 с. — Систем. требования: Adobe
Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. —Текст :
электронный.
ISBN 978-5-00101-651-9
В пособии изложены основы теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, уравнений в частных производных первого
порядка и вариационного исчисления. Наряду с изложением традиционных
разделов курса обыкновенных дифференциальных уравнений,
в книге рассмотрены и некоторые нетрадиционные вопросы
(граничные задачи, уравнения с малым параметром, нелинейные
уравнения в частных производных первого порядка, вариационная
задача Больца и др.).
Многочисленные примеры иллюстрируют рассматриваемые теоретические
положения.
Для студентов высших учебных заведений.
ББКУДК 517.9
22.161.1
Деривативное издание на основе печатного аналога: Курс
дифференциальных уравнений и вариационного исчисления /
В. К. Романко. — 5-е изд. —М. : Лаборатория знаний, 2019. — 346 с. :
ил. —ISBN 978-5-00101-200-9.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-00101-651-9
○c Лаборатория знаний, 2015
Стр.3
Оглавление
▼
ПредисловиеПредисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
НекНекоторые обозначения
оторые обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ВведениеВведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Методы решения некоторых дифференциальных уравнений
6
7
8
Методы решения некоторых дифференциальных уравнений 12 12
§ 1. § 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений первого Основные понятия для дифференциальных уравнений первого порядкапорядк . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212
§ 2. § 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений
первого порервого порядкаядк . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818
§ 3. § 3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно прои
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно продной.
Метод введения параметра и задача Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3434
§ 4. § 4. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Общие понят
Дифференциальные уравнения высшего порядка. Общие поняп
Методы решения простейших дифференциальных уравнений
извозводной. Метод введения параметра и задача Коши
2 Линейные дифференциальные уравнения порядка Линейные дифференциальные уравнения порядк п с посто- постоянными
кянными коэффициентами
ных уравнений с постоых уравнений с постоянными коэффициентами
§ 2. Линейные однородные уравнения порядк
§ 3. Линейные неоднородные уравнения порядк
коэффициентами
нений с постоений с постоянными коэффициентами
янными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7676
§ 3. § 3. Общее решение нормальной линейной неоднородной системы
с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8888
§ 4. § 4. Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффицешение
нормальных линейных систем с постоянными коэффими.
Общие понятия и метои. Общие понятия и метод исключенияд исключения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7373
§ 2. § 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы с пос
Общее решение нормальной линейной однородной системы с поОбщее
решение нормальной линейной неоднородной системы
стотоянными коэффициентами
постоянными коэффициентами
ами с помощью матричной экспоненты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9494
§ 5. § 5. Преобразование Лапласа и его применение для решения диф- Преобразование Лапласа и его применение для решения диф-ференциальных уравненийференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103103
циентиентами с помощью матричной экспоненты
тия и метоия и методы решенияды решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4141
оэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 52
янными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5252
с постоянными кос
постоянными
§ 1. § 1. Дифференциальные многочлены и общий метод решения линейн
Дифференциальные многочлены и общий метод решения линей§
2. Линейные однородные уравнения порядка п с постоянными к
эффициентэффициентамиами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5757
§ 3. Линейные неоднородные уравнения порядка п с постоянными
оэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6565
3 Методы решения систем линейных дифференциальных уравн
Методы решения систем линейных дифференциальных урав§
1. § 1. Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентам
Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентаянными
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 73
Стр.4
4
Ог Оглавлениелавление
§ 6. § 6. Методы решения произвольных линейных систем с постоянными
оэффициентами
4 Исследование задачи Коши
Исследование задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 1.
Методы решения произвольных линейных систем с постоянными
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108108
Вспомогательные предложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2. § 2. Существование и единственность решения задачи Коши для
н Существование и единственность решения задачи Коши для
§ 3. § 3. Непродолжимое решение задачи Коши
§ 5. 5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных
д Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных
113
113
113
113
§ 1. Вспомогательные предло ения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
нормальной системы дифференциальных уравненийормальной системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117117
Непродолжимое решение задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127127
§ § 4. § 4. Общее решение дифференциального уравнения Общее решение дифференциального уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132132
данных. Корректность задаанных. Корректность задачи Кошичи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135135
§ 6. § 6. Разрешимость задачи Коши для дифференциального уравнения
пазрешимость задачи Коши для дифференциального уравнения
первого порервого порядка, не разрешенного относительно производной.
Особые решения Особые решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145145
ядка, не разрешенного относительно производной.
5 Нормальные линейные системы дифференциальных уравне- Нормальные линейные системы дифференциальных уравне-ний с переменными коэффициентами
уравнений с переменными кравнений с переменными коэффициентами
ний с переменными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 152
§ 1. § 1. Исследование задачи Коши для нормальной линейной системы
у Исследование задачи Коши для нормальной линейной системы
§ 2. § 2. Линейные однородные системы
оэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152152
Линейные однородные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158158
§ 3. § 3. Линейные неоднородные системы
6 Линейные дифференциальные уравнения порядка Линейные дифференциальные уравнения порядк п с пере- с переменными
кменными коэффициентами
2. Линейные однородные уравнения порядка п . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3. Линейные неоднородные уравнения порядка п . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2. Линейные однородные уравнения порядк
§ 3. Линейные неоднородные уравнения порядк
Линейные неоднородные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167167
оэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 171
174
179
174
179
§ § 1. § 1. Общие свойства Общие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171171
§ § 4. § 4. Граничные задачи Граничные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185185
§ § 5. 5. Теорема Штурмаеорема Штурма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193193
§ 6. 6. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощьюешение линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Уравнение Бесселя
степенных рядов. Уравнение Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199199
§ 7. § 7. Линейные дифференциальные уравнения с малым параметром Линейные дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной
§ 2. Классификация поло ений равновесия линейной однородной
с
стойчивость по Ляпунову положений равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Дифференциальные уравнения в частных производных пер§
4.
4. Устойчивость по Ляпунову поло ений равновесия
2. Классификация положений равновесия линейной однородной
сисис темы второго порядка темы второго порядк . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222222
241
241
при старшей производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205205
7 Нормальные автономные системы дифференциальных урав- Нормальные автономные системы дифференциальных урав-нений и теория устойчивости
нений и теория устойчивости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 212
§ § 1. § 1. Общие свойства Общие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212212
§ § 3. § 3. Нелинейные автономные системы второго порядка Нелинейные автономные системы второго порядк . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230230
§ 5. § 5. Первые интегралы Первые интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251251
в Дифференциальные уравнения в частных производных пер§
1. 1. Линейные однородные уравнения
вого порого порядкаядк . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 261
§ Введение Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261261
Линейные однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263263
Стр.5
ОгОглавлениелавление
5
§ § 2. § 2. Квазилинейные уравнения Квазилинейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271271
§ 3. 3. Нелинейные уравнения Нелинейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281281
9 Основы вариационного исчисления9 Основы вариационного исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 289
§ Введение Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289289
§ § 1. 1. Простейшая вариационная задача Простейшая вариационная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291291
ционалов более общего интегрального типаионалов более общего интегрального типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301301
§ 2. 2. Обобщения простейшей вариационной задачи на случай функц
Обобщения простейшей вариационной задачи на случай функ§
3. § 3. Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной гран
Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной границей
и задаицей и задача Больцача Больца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310310
§ 4. § 4. О сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме
ф О сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме
Изопериметрическая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322322
§ 6. Задача Лагранж Задача Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 7. § 7. Достаточные условия слабого локального экстремума
функционаловункционалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318318
§ 5. § 5. Изопериметрическая задача
§ 6.
326
326
Достаточные условия слабого локального экстремума . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331331
ЛитератураЛитература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 341
Предметный укПредметный указательазатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343343
Стр.6