Использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата . <...> Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены . <...> Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства . <...> Использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата . <...> Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены . <...> Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства . <...> Доказать, что сумма кубов трёх последовательных чисел делится на 9. <...> Также могут оказаться полезными следующие неравенства: • • равенство достигается при a = ±1; x+y • sinx< x< tg x при 0 <x< π 2 ; • (1+x)n ≥ 1+nx,где x> −1 и n ∈ N0 (неравенство Бернулли). a+ 1 a ≥ 2,где a =0 (оценка суммы двух взаимно обратных величин), 2 ≥ √xy,где x, y ≥ 0, равенство достигается при x = y (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического); 20 Теория и задачи При сравнении логарифмов может быть полезным следующее утверждение. <...> 1) Неравенство sin cos 1◦ < cos 1◦ следует из того, что в первой четверти sinx< x. <...> 2) Неравенство cos 1◦ < cos sin 1◦ выполняется потому, что 1◦ > sin 1◦ , а в первой четверти cosx убывает. <...> Неравенство sin cosx< cos sinx справедливо при всех x. <...> Напомним определения обратных тригонометрических функций: • арксинусом числа x ∈ [−1; 1] называется число y =arcsinx, удовлетворяющее двум условиям: sin y = x и y ∈ − π 2 ; π 2 ; 2 −x =cos x, 1+tg2 x, 24 Теория и задачи • арккосинусом числа x ∈ [−1; 1] называется число y = arccosx, удовлетворяющее двум условиям: cos y = x и y ∈ [0;π] ; • арктангенсом числа x ∈ R называется число y =arctg x, удовлетворяющее двум условиям: tg y = x и y ∈ − π 2 ; π 2 ; • арккотангенсом числа x ∈ R называется число y = arcctg x, удовлетворяющее двум условиям: ctg y = x и y ∈ (0;π). <...> Докажем формулу: arcsinx+arccosx = π 2 , arcsinx = π 2 −arccosx и докажем его, используя определение арксинуса. <...> Справедливость последнего неравенства следует <...>
Алгебра._Углубленный_курс_с_решениями_и_указаниями_.pdf
АЛГЕБРА
УГЛУБЛЕННЫЙ КУРС
с решениями и указаниями
Учебно-методическое пособие
Под редакцией
М. В. Федотова
6-е издание, электронное
Москва
Лаборатория знаний
2021
Стр.2
УДК 512
ББК 22.141я729+22.141я721.6
А45
А в т о р с к и й к о л л е к т и в:
Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов, В. В. Сазонов,
Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов
Первое издание данного пособия вышло в издательстве Московского
университета в 2011 г. (ISBN 978-2-211-05950-4)
Алгебра. Углубленный курс с решениями и указаниями :
А45
учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов,
В. В. Сазонов [и др.] ; под ред. М. В. Федотова. — 6-е изд.,
электрон. —М. : Лаборатория знаний, 2021. — 549 с. — (ВМК
МГУ—школе). —Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10". —Загл. с титул. экрана. —Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-501-1
Настоящее пособие составлено преподавателями факультета
ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе задач вступительных
экзаменов по математике в МГУ и задач Единого государственного
экзамена. Пособие содержит теоретический материал, подборку
задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.
Рекомендуется абитуриентам при подготовке к поступлению как
в МГУ, так и в другие вузы, при подготовке к сдаче Единого
государственного экзамена, а также учителям математики, репетиторам,
руководителям кружков и факультативов, преподавателям
подготовительных курсов.
УДК 512
ББК 22.141я729+22.141я721.6
Деривативное издание на основе печатного аналога: Алгебра.
Углубленный курс с решениями и указаниями : учебно-методическое
пособие / Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов, В. В. Сазонов [и др.] ; под
ред. М. В. Федотова. —5-е изд. —М. : Лаборатория знаний, 2020. —
544 с. : ил. — (ВМК МГУ—школе). — ISBN 978-5-00101-238-2.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель
вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты
компенсации
ISBN 978-5-93208-501-1
© Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов,
В. В. Сазонов, Н. Л. Семендяева,
М. В. Федотов, 2020
© Лаборатория знаний, 2015
Стр.3
Оглавление
От редактора ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 6
Предисловие ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 7
Часть I.Теория изадачи
9
1. Элементы теории чисел . .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 9
1.1. Целые числа. Делимость и остатки . .. ... .. .. ... .. . 9
1.2. Уравнения в целых числах . ... .. .. ... .. .. ... .. . 11
1.3. Смешанные задачи на целые числа . .. ... .. .. ... .. . 14
1.4. Рациональные и иррациональные числа . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Сравнение чисел . .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 19
2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции
.. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 23
2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и
арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими
функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими
функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические
неравенства .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 30
2.4. Смешанные задачи . .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 34
3. Полезные преобразования и замены переменных . . . . . . . . . . . . 35
3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение
полного квадрата .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 35
3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах
и системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах
и системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических
уравнениях, неравенствах и системах . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические
замены .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 50
4. Нестандартные текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1. Недоопределённые задачи . ... .. .. ... .. .. ... .. . 54
4.2. Неравенства в текстовых задачах . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения . . 60
5. Использование свойств квадратного трёхчлена в задачах с параметрами
.. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 63
5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости
от значений параметра. Теорема Виета ... .. .. ... .. . 63
5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на
числовой оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3. Смешанные задачи . .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 73
6. Использование различных свойств функций и применение графических
иллюстраций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность,
чётность и нечётность . .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 75
3
Стр.4
4
Оглавление
6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства
и монотонности .. .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 78
6.3. Функциональные уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . 83
6.4. Использование графических иллюстраций . . . . . . . . . . . 89
7. Метод оценок ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 95
7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства . . 95
7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства . . . . . . . . . 98
7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными
функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8. Задачи на доказательство ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 106
8.1. Тригонометрические задачи на доказательство . . . . . . . . . 106
8.2. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.3. Доказательство неравенств и тождеств . . . . . . . . . . . . . 111
9. Использование особенностей условия задачи . . . . . . . . . . . . . . 114
9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное
введение параметров, смена ролей параметра и переменной
.. .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 114
9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование
единственности решения, необходимые и достаточные
условия .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 118
9.3. Редукция задачи и переформулирование условия . . . . . . . 123
9.4. Смешанные задачи ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 127
Часть II. Указания и решения
131
1. Элементы теории чисел .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 131
1.1. Целые числа. Делимость и остатки . .. .. .. ... .. .. .. 131
1.2. Уравнения в целых числах . .. ... .. .. .. ... .. .. .. 138
1.3. Смешанные задачи на целые числа . .. .. .. ... .. .. .. 146
1.4. Рациональные и иррациональные числа . . . . . . . . . . . . . 154
1.5. Сравнение чисел .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 159
2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции
.. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 169
2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и
арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими
функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими
функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические
неравенства .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 191
2.4. Смешанные задачи ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 202
3. Полезные преобразования и замены переменных . . . . . . . . . . . . 218
3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение
полного квадрата . ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. 218
3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах
и системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах
и системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Стр.5
5
3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических
уравнениях, неравенствах и системах . . . . . . . . . . . . . . 259
3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические
замены .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 276
4. Нестандартные текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
4.1. Недоопределённые задачи . ... .. .. ... .. .. ... .. . 284
4.2. Неравенства в текстовых задачах . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения . . 300
5. Использование свойств квадратного трехчлена в задачах с параметрами
.. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 312
5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости
от значений параметра. Теорема Виета ... .. .. ... .. . 312
5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена на
числовой оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
5.3. Смешанные задачи . .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 338
6. Использование различных свойств функций и графических иллюстраций
... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 354
6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность,
чётность и нечётность . .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 354
6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства
и монотонности .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 360
6.3. Функциональные уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . 376
6.4. Использование графических иллюстраций . . . . . . . . . . . 392
7. Метод оценок . .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 414
7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства . . 414
7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства . . . . . . . . . 422
7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными
функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
8. Задачи на доказательство . .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 458
8.1. Тригонометрические задачи на доказательство . . . . . . . . . 458
8.2. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
8.3. Доказательство неравенств и тождеств . . . . . . . . . . . . . 477
9. Использование особенностей условия задачи . . . . . . . . . . . . . . 491
9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное
введение параметров, смена ролей параметра и переменной
.. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 491
9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование
единственности решения, необходимые и достаточные
условия . .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 501
9.3. Редукция задачи и переформулирование условия . . . . . . . 512
9.4. Смешанные задачи . .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. . 520
Варианты ДВИ МГУ последних лет
Ответы
Список литературы
528
534
544
Стр.6