В результате приходится решать задачу создания гибкой ТС, которая гарантирует 2794633475-11 1) оптимальное значение некоторого показателя, оценивающего работу ТС за весь этап функционирования; 2) сохранение работоспособности ТС (выполнение всех проектных ограничений) на этапе функционирования, несмотря на использование неточных математических моделей и изменение внутренних и внешних факторов. <...> 2 «Глобальная оптимизация» рассматривается проблема поиска глобального решения в двух классах задач математического программирования—задачах дифференцируемой оптимизации и задачах дискретно-непрерывного программирования. <...> Рассматриваются эффективные алгоритмы вычисления верхних и нижних границ, необходимые для реализации этих методов. <...> Метод внешней аппроксимации требует оценки теста гибкости на каждой итерации. <...> 2794633475-11 Глава 1 Элементы выпуклого анализа Здесь мырассмотрим некоторые элементывыпуклого анализа, которые будут необходимы при описании методов анализа гибкости ТС. <...> Функция f(x) называется квазивыпуклой, если выполняется (1.5) Функция f(x) называется строго выпуклой, если в (1.5) выпол(1.6) (1.9) Функция f(x) называется строго квазивыпуклой, если в условии (1.8) выполняется строгое неравенство (за исключением концевых точек). <...> Покажем, что любая выпуклая функция является квазивыпуклой функцией (однако, обратное неверно). <...> Выпуклые области, выпуклые функции и их свойства f f(x) y f(¯ x) x ¯ x Рис. <...> Это и есть условие того, что функция f(x) квазивыпукла. <...> В соответствии с определением квазивыпуклой функции для любой точки отрезка [x1,x2] удовлетворяется условие ϕ(x) max[ϕ(x1),ϕ(x2)] 0. вие ϕ(x) 0. <...> Локальный минимум выпуклой или строго квазивыпуклой функции f(x) в выпуклой ограниченной области R является глобальным минимумом в этой области. <...> Предположим противное, что глобальный минимум находится в другой точке A2 с абсциссой x = x2. <...> Предположим противное, что глобальный минимум находится в другой точке x = x2. <...> 2794633475-11 Но это неравенство <...>
Технические_системы_в условиях_неопределенности_анализ_гибкости_и оптимизация.pdf
Г. М. Островский, Ю. М. Волин
Технические системы
в условиях
Учебное пособие
4е издание, электронное
Допущено
по образованию в области
учебнометодическим объединением
Прикладной математики и управления качеством
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки
230400 «Прикладная математика»
специальности 230401 «Прикладная математика»
неопределенности
анализ гибкости и оптимизация
Москва
Лаборатория знаний
2020
Стр.2
ББКУДК 517
22
О-77
Островский Г. М.
О-77 Технические системы в условиях неопределенности: анализ
гибкости и оптимизация : учебное пособие / Г. М. Островский,
Ю. М. Волин. — 4-е изд., электрон. —М. : Лаборатория
знаний, 2020. — 322 с. — Систем. требования: Adobe
Reader XI ; экран 10".— Загл. с титул. экрана. —Текст :
электронный.
ISBN 978-5-00101-811-7
Рассматриваются методы оптимизации технических систем при
использовании неточных математических моделей. Формулируются
основные понятия теории гибкости, даются формулировки задач
проектирования гибких оптимальных технических систем, описываются
методы и алгоритмы решения сформулированных задач, работа
алгоритмов иллюстрируется на модельных примерах. Каждая
глава снабжена примерами.
Для студентов, преподавателей и научных работников в области
прикладной математики, системного анализа и управления.
ББКУДК 517
22
Деривативное издание на основе печатного аналога:
Технические системы в условиях неопределенности: анализ
гибкости и оптимизация : учебное пособие / Г. М. Островский,
Ю. М. Волин.—М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 319 с. :
ил. —ISBN 978-5-94774-732-4.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении
ограничений, установленных техническими средствами
защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации
ISBN 978-5-00101-811-7
○c Лаборатория знаний, 2015
Стр.3
Оглавление
Введение . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
Глава 1. Элементы выпуклого анализа .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
1.1. Выпуклые области, выпуклые функции и их свойства..
.. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
3
6
6
1.2. Многогранник и его свойства .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 14
1.3. Упражнения . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 22
Глава 2. Глобальная оптимизация .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 23
2.1. Формулировка задачи .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 23
2.2. Метод ветвей и границ .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 25
2.3. Построение выпуклых нижних оценочных функций
для некоторого класса функций .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 36
2794633475-11
2.5. Использование метода ветвей и границ для решения
специальных задач .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 62
2.4. Конструирование выпуклых нижних оценочных
функций для произвольных функций .. .. .. .. .. .. .. 51
2.6. Метод ветвей и границ уменьшенной размерности .. 64
2.7. Метод линеаризации .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 68
ние .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 76
2.10.Упражнения . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 83
2.8.Использованиеметодовинтервальнойматематики..70
2.9.Дискретно-непрерывноенелинейноепрограмироваГлава
3. Формулировка задач оптимизации в условиях
неопределенности .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 85
3.1. Введение . .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 85
3.2. Характеристика задач оптимизации в условиях
неопределенности .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 86
3.3. Одноэтапная задача оптимизации .. .. .. .. .. .. .. .. . 101
3.4. Двухэтапная задача оптимизации .. .. .. .. .. .. .. .. . 108
3.5. Гибкость и стоимость исходной информации .. .. .. . 150
Комментарии .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 152
3.6. Упражнения . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 156
Стр.319
Оглавление 319
Глава 4. Вычисление функции гибкости . .. .. ... .. .. .. .. .. .. 159
4.1. Введение .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 159
4.2. Свойства функции гибкости.. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. 159
4.3. Метод перебора .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 166
4.4. Метод множеств активных ограничений.. .. .. .. .. .. 168
4.5. Метод смешанного дискретно-непрерывного нелинейного
программирования .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. 170
4.6. Метод ветвей и границ .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. 172
4.7. Многоэкстремальность и теория гибкости .. .. .. .. .. 187
4.8. Вычисление индекса гибкости . .. .. ... .. .. .. .. .. .. 191
Комментарии .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 191
4.9. Упражнения .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. 191
Глава 5. Методы решения задач оптимизации в условиях
неопределенности .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 194
5.1. Введение .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 194
5.2. Нижняя граница для ДЭЗО1 . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 195
5.3. Верхняя граница для ДЭЗО1 . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 198
5.4. Алгоритм внешней аппроксимации . ... .. .. .. .. .. .. 203
5.5. Метод перебора .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 205
5.6. Метод разбиений и границ решения ДЭЗО1 .. .. .. .. 208
5.7. Метод разбиений и границ решения ДЭЗО2 .. .. .. .. 238
5.8. Метод разбиений и границ вычисления функции гибкости
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. 255
Комментарии .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 266
5.9. Упражнения .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. 266
Глава 6. Многокритериальная оптимизация технических систем
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 268
6.1. Введение .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 268
6.2. Множество Парето .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. 269
6.3. Стратегия решения.. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. 271
6.4. Использование множества Парето для принятия решения..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. 275
6.5. Многокритериальная оптимизация в условиях
неопределенности .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 279
6.6. Вычислительный эксперимент.. .. .. ... .. .. .. .. .. .. 295
6.7. Упражнение .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. 298
Приложения .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 299
П.1.Дополнительные математические сведения .. .. .. .. . 299
П.2. Алгоритм внешней аппроксимации . ... .. .. .. .. .. .. 306
П.3.Решение многопериодной задачи специального вида. 309
Литература .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. 311
Стр.320