Фокичева1 Изучается интегрируемая система “бильярд в эллипсе”, возникающая при описании движения точки внутри эллипса с естественным отражением на границе. <...> В работе вычислен топологический инвариант лиувиллевой эквивалентности этой системы — молекула Фоменко–Цишанга — с помощью нового метода, разработанного автором. <...> Пусть дана область на плоскости R2, ограниченная несколькими квадриками из софокусного семейства: a−Λ + y2 x2 причем область не содержит углов 3π b−Λ =1,a> 0,b > 0, области Ω с естественным отражением на границе P = ∂Ω. <...> Система “бильярд в области” описывает движение точки внутри отразится по той же траектории. <...> Касательные прямые к геодезической линии на квадрике в n-мерном (x1,v1) ∼ (x2,v2)⇔x1 = x2 ∈ P, |v1| = |v2| и v1 −v2 ⊥ Tx1 пространстве, проведенные во всех точках геодезической, касаются кроме этой квадрики еще n − 2 конфокальных с ней квадрик, одних и тех же для всех точек геодезической. <...> В нашем случае это означает, что касательные в любой точке траектории касаются эллипса или гиперболы, софокусных с семейством границы P. <...> Таким образом, система обладает двумя интегралами: 1) v —модуль вектора скорости, 2) Λ —параметр софокусной квадрики. <...> Ограничим фазовое пространство M4 на поверхность уровня |v| =1 и получим изоэнергетическую поверхность Q3. <...> Пусть (M4 ваются лиувиллево эквивалентными, если существует послойный диффеоморфизм Q3 кроме того, сохраняет ориентацию 3-многообразий Q3 изоэнергетические поверхности Q3 1 ,ω1,f1,g1) и (M4 1 = {x ∈ M4 2 = {x ∈ M4 (подробнее см. <...> 16 ВМУ, математика, механика, №5 2 и ориентацию всех критических окружностей 2 ,ω2,f2,g2) —две интегрируемые системы. <...> 2 ), систему доопределим по непрерывности: попав в угол, точка, не теряя скорости, Впервые инвариант Фоменко–Цишанга для системы “бильярд в эллипсе” был вычислен в статье [1] без доказательства. <...> Предлагаемый новый метод позволяет эффективно вычислять “грубую молекулу”. <...> Способ нахождения меток полностью аналогичен использованному А. В. Болсиновым <...>