Значит, в Uδ(x),где δ выбрано в зависимости от ε так, что Y1,ε∩Y2,ε = ∅, возникает некоторая кривая с началом в x, целиком лежащая во множестве A2. <...> Лемма 3 доказана. содержит непрерывную кривую с началом в точке x искасательным вектором v(x) вточке x,причем во втором случае элементы метрической проекции точек этой кривой лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, содержащей отрезок [x,PM(x)]. <...> Утверждение леммы для x ∈ (A1\M)◦ можно получить как простое следствие теоремы 1 Лемма 4. <...> Пусть теперь x — точка из Uδ0 (x), образуют некоторый отрезок на прямой l, содержащий точку (x + y)/2. <...> Ясно, что эти пересечения 2В данном случае метрическая проекция точек x1 и x2 может быть как однозначна, так и двузначна, поэтому (xi,PM(xi)) обозначает либо интервал, либо объединение двух интервалов. <...> Покажем теперь, что тогда для всякого δ< δ0 ли|PM(z(δ))| =2, причем элементы множества PM(z(δ)) лежат по разные стороны от прямой m. бо y ∈ PM(x),либонадуге x1xx2 окружности ∂Uδ(x) существует такая точка z(δ) = x,что Действительно, исходя из (7), получаем, что [x1,PM(x1)] пересекает только интервал β1,а [x2,PM(x2)] пересекает только интервал β2. <...> Но тогда в силу непрерывности метрической проекции либо на дуге x1xx2 существует точка z(δ), метрическая проекция которой двузначна, причем один из отрезков, соединяющих эту точку с одним из ее ближайших элементов, пересекает β1, а другой — β2, а значит, ближайшие элементы лежат по разные стороны от прямой m, либо для некоторой точки z этой дуги отрезок (или два отрезка) Рис. <...> Но последнее означает, что (x,y] ⊂ A1, причем для всякого w ∈ (x,y] получаем PM(w)= y, так что мы можем указать нужную окрестность, в которой утверждение леммы выполнено, что автоматически влечет непрерывность и нужную нам гладкость кривой. <...> Непрерывность кривой z(δ),δ ∈ (0,δ0), следует из непрерывности метрической проекции и доказывается так же, как и в лемме 3. <...> Для каждого угла ϕ выберем такое <...>