Назовем β-разбиение π2 из леммы 1 β-дополнительным к π1 в L.Если F есть вию (ii) для каждого s найдем β-разбиение πs B-интервала Ks.Тогда π2 := ∪n ет место представление L =(∪m j=1Ij)(∪n s=1Ks),где Ks — неперекрывающиеся B-интервалы. <...> ). Пусть B — базис, обладающий свойством разбиения, и L — B-фигура. <...> Скажем, что действительная функция f, заданная на L, интегрируема в смысле Хенстока–Курцвейля относительно базиса B (или HB-интегрируема) на L и значение HB-интеграла равно A, если для любого ε> 0 найдется β ∈B, такое, что для каждого β-разбиения π фигуры L выполняется неравенство f(x)µ(I)−A <ε. <...> Значение A интеграла запишем в виде (HB) L f. <...> Скажем, что функция fHB-интегрируема на множестве E ⊂ L, если функция fχE,где χE — характеристическая функция множества E, HB-интегрируема на L. <...> Следующее утверждение является обобщением результата, известного для случая полного базиса из интервалов на действительной прямой (см. <...> По свойству Витали базиса B для любого n и любого x ∈ En найдем базисное n=1 ∪x∈En βx[{x}],где β[L \ E] можно определить произвольно. на L, и интеграл равен нулю. <...> Доказательство последнего факта опирается, в частности, на утверждение 1, из которого следует, что интеграл по общей части границы двух неперекрывающихся фигур равен нулю. <...> Используя упомянутуювыше аддитивность интеграла, а также локальный характер базиса, на случай нашего интеграла можно перенести утверждение, известное в классическом случае как лемма Сакса– Хенстока (см. варианты этого утверждения в [2, лемма 3.8; 6, теорема 1.6.1; 11, теорема 3.2.1]). <...> Для любого β ∈B в B-фигуре L и любого замкнутого множества E ⊂ L существует Из свойства Витали следует, что для x ∈ L \ E существует βx ∈B, такое, что I ⊂ U(x) ⊂ X \ E для каждой пары (I,x) ∈ βx. <...> В силу локального характера базиса существует β ∈B в L, такое, что 12 вестн. моск. ун-та. сер. <...> Тем самым β — искомое базисное множество, и лемма доказана <...>