АНАЛИЗ И СИНТЕЗ МАШИН
Ñ.Â. Õåéëî, Â.À. Ãëàçóíîâ, Ñ.Â. Ïàëî÷êèí, À.Ï. Выборнов
УДК 621.01
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ПЛОСКИМ
МЕХАНИЗМОМ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ*
Ñ.Â. Õåéëî, Â.À. Ãëàçóíîâ, Ñ.Â. Ïàëî÷êèí, À.Ï. Выборнов
Представлено решение задачи управления плоским механизмом параллельной
структуры с двумя степенями свободы, используемым в установках лазерной резки
и сварки. Алгоритм управления, основанный на решении обратных задач динамики,
позволяет обеспечить движение выходного звена по назначенной траектории.
Также рассмотрена задача управления механизмом при переходе через особые
положения и выводе его из области сингулярностей. Приведен пример численного
решения задачи управления таким механизмом.
Ключевые слова: механизм параллельной структуры, управление, обратная
задача динамики
Введение
Механизмы параллельной структуры находят
широкое применение в различных отраслях
промышленности. Среди манипуляционных
механизмов параллельной структуры широко
применяются плоские механизмы с двумя и
тремя степенями свободы, предназначенные
для различных технологических операций. В
настоящее время в заготовительном производстве
широко применяются установки лазерной
резки листовых материалов (сталей, цветных
сплавов, неметаллических материалов). Это
связано с большой производительностью, с высокой
точностью вырезаемых заготовок и качеством
поверхности реза, не требующим дополнительной
обработки.
Современные
промышленные
установки
мого материала и режущей головки. Для перемещения
координатного стола с закрепленным
материалом и для перемещения режущей головки
требуются высокоточные (прецизионные)
механизмы. Одним из таких видов механизмов
являются механизмы параллельной структуры
[2–4]. Установки с этими механизмами позволяют
проводить высокоточную резку плоских
объектов с большой производительностью и
надежностью.
Однако в процессе работы звенья механизмов
параллельной структуры могут попадать
в особые положения внутри рабочей зоны.
В них теряется степень свободы или происходит
потеря
для
лазерной резки можно подразделить на
три основных типа: установки с перемещением
стола с обрабатываемыми материалами,
установки с системами «летающей оптики» и
гибридные установки [1]. Основные различия
этих типов связаны с перемещением разрезае2
Машиностроение
и инженерное образование, 2014, ¹ 3
© Ñ.Â. Õåéëî, Â.À. Ãëàçóíîâ,
Ñ.Â. Ïàëî÷êèí, À.Ï. Âûáîðíîâ, 2014
управляемости. Кроме
того,
вблизи особых положений у манипуляторов
параллельной структуры снижается нагрузочная
способность. Одной из важных задач при
создании манипуляционных механизмов является
управление исполнительным органом
и обеспечение им заданного закона движения.
Цель данного исследования заключается в разработке
алгоритма управления механизмом
для вывода его из особых положений, что пред*
Работа поддержана грантом РФФИ 13-08-12056 офи-м. ставляет практический интерес.
Стр.1
АНАЛИЗ И СИНТЕЗ МАШИН
Решение задачи управления плоским механизмом параллельной структурой
Сложности управления в области
особых положений
Рассмотрим плоский механизм параллельной
структуры с двумя степенями свободы
(рис. 1). Этот механизм предусмотрен в качестве
устройства лазерной сварки и резки, где
луч отклоняется системой двух зеркал [5, 6].
Он может быть использован в установках с
«летающей оптикой». Рассматриваемый механизм
был предметом ранних публикаций [6, 7],
однако здесь имеют место иные параметры механизма
и другие законы движения.
В механизме ведущие звенья BD и CE
) соединены с приводами, установленными
на основании, а два других звена AB
и AE (äëèíîé L2
(äëèíîé L1
), связанные шарнирно между
собой, перемещают цепь, сопряженную с лазером.
Звенья перемещают кинематическую цепь
AF. Вдоль оси вращательной пары F расположена
оптическая ось лазера. Луч отклоняется с
помощью зеркал, расположенных в точках A и
F. Таким образом, рассматриваемый механизм
состоит из пяти кинематических цепей.
Сложность задачи управления обусловливается
тем, что механизмы роботов параллельной
структуры являются многоконтурными.
При этом имеет место нелинейность уравнений
связей, взаимовлияние между степенями
свободы, непостоянство передаточных отношений
между входными (обобщенными) и выходными
(абсолютными) координатами выходного
звена (рабочего органа). Любое простейшее
движение по прямой или окружности требует
согласованного движения приводов. Кроме
того, нужно обеспечить минимизацию ошибки
движения по заданному закону.
В особых положениях (сингулярностях)
происходит потеря управляемости и усилия в
приводах возрастают до недопустимых значений.
Превышение установленного максимума
обобщенной силы считается динамическим
критерием близости к сингулярности. Для
выполнения технологических операций манипулятором
необходимо решить задачу управления
при переходе через области сингулярностей.
В механизме необходимо предусмотреть
дополнительные приводы, включающиеся при
приближении к особым положениям. После
выхода из особых положений дополнительные
приводы должны отключаться, а основные
вновь включаться. Таким образом, в области
особых положений управление механизмом
должно быть передано дополнительным приводам.
Создание
алгоритма управления
механизмом
В робототехнике существуют разные подходы
к решению задачи управления механизмами,
при этом в большинстве публикаций
рассматривались только
роботы последовательной
структуры [7, 8]. При решении задачи
управления воспользуемся алгоритмом компенсационного
управления [9–11].
При заданном законе движения требуется
найти моменты в приводах, обеспечивающие
минимизацию ошибки:
∆i
=qi
где qi(t), ()i
qt , ()i
ii () ()pi=−
qt
(t) – qði
рения.
Для оценки величины и быстроты затухаi,
i
динат, скоростей и ускорений входного звена;
∆i
щенных координат,
qt , qt ,
,
pi ()
pi () qt – заданные значения êîîð–
ошибки положения, скорости, ускония
ошибки отклонения выходного звена используем
квадратичную интегральную оценку
переходного процесса [12]:
, i=1, 2,
где 12
kk – постоянные коэффициенты.
Интегралы i
ii,
G , величины которых должны
принимать минимальное значение, можно
представить в виде:
Gi
Рис. 1. Схема плоского механизма параллельной
структуры
Машиностроение и инженерное образование, 2014, ¹ 3
=
,
(3)
3
(2)
qt q t
(t),
, i=1, 2,
,
(1)
– реальные значения обобскоростей
и ускорений
входного звена (обобщенные координаты);
pi ()
Стр.2
АНАЛИЗ И СИНТЕЗ МАШИН
Ñ.Â. Õåéëî, Â.À. Ãëàçóíîâ, Ñ.Â. Ïàëî÷êèí, À.Ï. Выборнов
где 00С ∆∆i(, )
сящие от начального состояния управляемого
механизма; γ1i
условии [10, 12]:
∆+γ ⋅∆+γ ⋅∆ = 0.
ii i 10 i
i
Минимум функционала реализуется при
– некоторые постоянные, зави,
γ0i
– постоянные коэффициенты.
q = −+ ,
2
2
2arctg KK L y
()( )34 1
K5
выполнение условия, чтобы ошибки в переходном
процессе являлись решением уравнения
(4). Для нахождения коэффициентов уравнения
(4) представим данное выражение в форме, соответствующей
колебательному звену:
2
τ∆ + ζ τ ⋅∆ + ∆ =
ζτ γ= γ i
ii 20i
1
τ= γ ,2,i
ii
2
i
0i
1
0
где iτ – постоянные âðåìåíè; i
i
i
i
;
(5)
ζ – коэффициенты
затухания (демпфирования) собственных
колебаний.
Используя принцип возможных перемещений,
можно записать уравнения движений:
;
(6)
,
где J – момент инерции входных звеньев;
m – масса выходного звена;
∂ ,
приводах.
Уравнения связей можно представить системенные
коэффициенты; М1, М2
мой уравнений в общем виде:
;
,
поворота в приводах); (x, y) – координаты выходного
звена (ñì. ðèñ. 1).
Из уравнений связей (7) выразим обобщен:
которых
расположены приводы; L1
çâåíüåâ; q1
где (xD
, yD
), (xC
, q2
, yC
ные координаты q1
4
Машиностроение и инженерное образование, 2014, ¹ 3
, q2
q 2arctg KK L y
K
6
1= −+ ;
()( ) 2 12 1
(8)
Рис. 2. Особое положение механизма
– обобщенные координаты (углы
) – координаты точек D, C , в
, L2
– длины
∂x
q i
∂ – ïåðå–
моменты в
∂y
q i
B
A
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
FF
qq
FF
qq
11
12
22
12
где V – вектор скоростей выходного звена;
q
координатами (0;
(7)
L Lx
L
1 sin
точке звенья механизма выстраиваются в одну
линию (рис. 2), а определитель матрицы А
равен нулю.
На основании представленного алгоритма
⋅
2 − D
1
можно найти обобщенные ускорения:
10
q q qq qq , i=1,2. (10)
i () ()pi=+γ i ipi
⋅
− + γ i ipi
⋅
−
– вектор скоростей входных звеньев..
В особых положениях определитель одной
из матриц А или В равен нулю. Например,
одним из особых положений является точка с
). В данной
,
FF
xy
FF
xy
22
11
,
V
;
=
x
y
q
=
q
q
1
2
Для обеспечения управления необходимо 312
22 2
Kx xx y
Kxy xLLx xx
Kx y xL Lx xx x L − .512
Особые положения могут быть определены
612
22
=+ + − + + + 2
=+ + − + + + 2
2
22 2
22 2
Cc C
x
DD D
L
L − ;
2
2
L
исследованием свойств матриц, составленных
из уравнений связи. Уравнение скоростей запишем
в виде:
AV ⋅B q
⋅=−
;
(9)
41222 L2
22
DD
x L L
(4) 212cc− − 2
=− + + + − 2
Kx ccxx y x L L11222 L2
22 2
Kx xx=− + + x L L22 L2
22 2
=− + +
y
22 2
+ − 2
L1 − ;
2
2
Kx DDxx yx L L22 L2
=− + + − − 2
L1 − ;
2
L1 − ;
2
L1 − ;
2
,
Стр.3