Формула Харди — Рамануджана и термодинамика квантовой струны УДК 519.116, 530.145 Формула Харди — Рамануджана и термодинамика квантовой струны © А.О. Шишанин МГТУ им. <...> Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия Проведено сравнение асимптотической формулы Харди — Рамануджана для разбиений натуральных чисел с числом микросостояний путем вычисления энтропии квантовой струны через формулу Эйлера — Маклорена. <...> Кратко рассмотрен другой подход, использующий подсчет числа состояний через обратное преобразование Лапласа статистической суммы. <...> Ключевые слова: разбиение числа, производящая функция, формула Харди — Рамануджана, квантовая струна, статистической сумма, свободная энергия, энтропия, формула Эйлера — Маклорена. <...> Разбиением натурального числа n называется его представление в виде суммы других натуральных чисел, при этом порядок чисел не учитывается. <...> Число таких представлений называется числом разбиений p(n) натурального числа n. <...> было обнаружено, что числа разбиений имеют следующую производящую функцию 1 () n xk . pn x n k11 Им было также показано, что число разбиений натурального числа n на нечетные числа совпадает с числом разбиений на различные числа. <...> Кроме того, он получил знаменитую рекуррентную формулу для чисел разбиений. <...> Знаменатель производящей функции раскладывается в следующий ряд: (1 )(1 )(1 ). <...> Числа, которые стоят здесь в скобках, называются пентагональными или пятиугольными и задаются формулой g mm m (3 1) . <...> сначала предположил, а затем доказал пентагональную теорему, которую можно записать следующей формулой: (3 1)/2 ( 1) m1 (1xx . q mqq ) q Разбиения чисел удобно описывать с помощью диаграмм Юнга или графов Феррера. <...> Рамануджан в 1918 г. [2] получили асимптотическую формулу для числа разбиений. <...> Эту формулу можно получить, например, если перейти к интегральному представлению для p(n), а затем воспользоваться стандартным асимптотическим методом (например, методом стационарной фазы <...>