Дзета-функция Римана, ее знакопеременная версия и их q-аналоги
УДК 511.331, 530.145
Дзета-функция Римана, ее знакопеременная версия
и их q-аналоги
© A.O. <...> Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Рассмотрены q-аналоги дзета-функции Римана и ее знакопеременной версии с использованием функциональных рядов. <...> Вычислены их значения в отрицательных
целых точках, которые в классическом пределе q →1 соответствуют значениям,
полученным Л. Эйлером <...> Дзета-функция Римана [1, 2] является уникальным объектом исследования и имеет много интересных обобщений, в частности о теоретико-числовых дзета-функциях [3]. <...> Одним из крупнейших
событий в математике ХХ в. было доказательство гипотез А. <...> Дзета-функция применяется в статистической механике и в квантовой теории поля [4]. <...> Такие обобщения дзета-функции строятся по неотрицательному самосопряженному
оператору. <...> Обычная дзета-функция Римана часто входит в формулы
квантовой статистики. <...> К известным примерам можно отнести закон
Стефана – Больцмана теплового излучения абсолютно черного тела. <...> , который впервые вычислил сумму известного задолго до него следующего числового ряда: <...> 6 .
n 1
Он решил эту задачу несколькими способами, например разложением функции sinx/x в бесконечное произведение с применением
теоремы Виета (если рассматривать эту функцию как многочлен). <...> нашел значение дзета-функции в положительных четных точках:
2
4
6 <...> получил также следующую формулу для дзета-функции
в виде бесконечного произведения: <...> Новое понимание дзета-функции и ее приложений для теории чисел внес в XIX в. <...> Риман вывел
функциональное уравнение и с его помощью построил аналитическое
продолжение, а также сформулировал знаменитую гипотезу о нетривиальных нулях дзета-функции. <...> Согласно этой гипотезе, нетривиальные нули ζ(s) лежат на прямой c действительной частью s = 1/2. <...> Риман получил функциональное уравнение для дзета-функции
в виде
(1 s )
1
2
s 1 s <...> 2
Посредством функционального уравнения дзета-функцию можно
аналитически <...>