О некоторых свойствах бессдвиговых изотропных конгруэнций
УДК 514.8
О некоторых свойствах бессдвиговых
изотропных конгруэнций
© В.Н. Тришин
МГТУ им. <...> Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Исследованы свойства бессдвиговых изотропных геодезических конгруэнций (БСК)
в пространствах Эйнштейна. <...> Условия интегрируемости для уравнений БСК в спинорном виде использованы для анализа свойств вектора Соммерса, характеризующего конгруэнцию. <...> Получены явные выражения для вектора Соммерса в алгебраически специальных пространствах. <...> Ключевые слова: бессдвиговые изотропные конгруэнции, алгебраически специальные метрики, уравнения Эйнштейна. <...> В статье исследованы свойства бессдвиговых изотропных конгруэнций – важного класса изотропных геодезических
конгруэнций, для которого один из трех оптических скаляров,
а именно сдвиг, обращается в ноль [1]. <...> [2], при поиске точных решений уравнений Эйнштейна [3], при изучении свойств электромагнитных полей на искривленных пространственно-временных многообразиях [4–7]. <...> С математической точки зрения бессдвиговые изотропные конгруэнции в пространстве-времени тесно связаны с понятием CRструктуры: каждое четырехмерное лоренцево многообразие, содержащее БСК, является лифтом некоторого трехмерного CR-многообразия
[8–10]. <...> Существование БСК накладывает определенные ограничения на
кривизну метрики. <...> [12] утверждается, что вакуумная (т. е. удовлетворяющая уравнениям
Эйнштейна с нулевым тензором энергии-импульса) метрика содержит бессдвиговую изотропную геодезическую конгруэнцию тогда, и
только тогда, когда она является алгебраически специальной, причем
кратное главное изотропное направление (ГИН) тензора конформной
кривизны Вейля [1] совпадает с касательным вектором БСК. <...> Отсюда,
в частности, следует, что вакуумные пространства Эйнштейна могут
содержать самое большее две такие конгруэнции. <...> В общем случае
искривленного неконформно-плоского пространства-времени число
различных <...>