УДК 512.643
Генерирование матриц специального вида:
аналитический подход
© С.К. Соболев
МГТУ им. <...> Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В статье рассматриваются аналитические методы генерирования квадратных
матриц специального вида произвольного порядка: ортогональных с рациональными элементами, имеющих простую структуру, и целочисленных симметричных
матриц с целыми собственными числами любых наперед заданных знаков и кратностей. <...> Получены явные формулы, зависящие от нескольких параметров, при подстановке вместо которых произвольных целых чисел получаются требуемые
матрицы любого размера. <...> Результаты статьи могут быть использованы для автоматического составления задач по линейной алгебре. <...> Ключевые слова: ортогональная матрица, циклическая матрица, латинская матрица, симметричная матрица, собственные числа. <...> Возникает необходимость автоматического генерирования
неограниченного количества задач на заданные темы с «хорошими»
ответами. <...> В частности, при автоматическом генерировании задач по
линейной алгебре очень часто требуется иметь в своем распоряжении
достаточное количество «несложных» матриц специального вида
(хотя бы 3–6 порядка), например, ортогональных, состоящих из рациональных чисел с небольшим знаменателем, или симметричных
целочисленных матриц с целыми собственными числами. <...> В данной работе мы предлагаем чисто аналитический подход к созданию таких матриц. <...> Это
значит, что путем теоретического анализа получается некоторая матрица, зависящая от нескольких целочисленных параметров, компьютеру «поручается» только лишь подставлять в нее различные значения этих параметров и отбрасывать заведомо неподходящие получающиеся матрицы, например, с очень большими числами. <...> Будем строить целочисленные квадратные
матрицы с попарно ортогональными строками. <...> Если для таких матриц сумма квадратов элементов любой строки равна одному и тому
же числу , то такую матрицу будем называть полуортогональной <...>