УДК 517.3
Формулы векторного анализа
в бесконечномерных пространствах
c О.В. Пугач¨eв <...> Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В работе получены классические формулы теории поля для случая поверхностей,
«гладких» в обобщенном смысле: формула Остроградского — Гаусса, первая
формула Грина. <...> При этом используются соболевские классы функций и связанные
с ними емкости. <...> Эти результаты являются новыми как в бесконечномерных, так
и в конечномерных пространствах. <...> Угланова [1, 2] некоторые классические формулы, связывающие поверхностные интегралы с объемными, обобщены на бесконечномерный случай c помощью конструкции
поверхностной меры, предложенной A.B. <...> В настоящей работе подобные результаты получены с помощью
конструкции поверхностной меры, описанной в [4], обобщающей подход П. <...> Маллявэна [5] для негауссовского случая, при минимальных
требованиях гладкости функции, задающей поверхность. <...> Пусть 𝑋 — банахово или локально выпуклое пространство; в него
непрерывно вложено сепарабельное гильбертово пространство 𝐻. <...> Обозначим через ℋ1 класс операторов Гильберта — Шмидта
из 𝐻 в 𝐻; норма Гильберта — Шмидта определяется формулой <...> По индукции определяются классы операторов Гильберта — Шмидта ℋ𝑛 из 𝐻
в ℋ𝑛−1 , 𝑛 = 2, 3, . . ., при этом нормы <...> О.В. Пугач¨eв
Будем называть функцию 𝑓 : 𝑋 → 𝐸 гладкой
цилиндрической
(
)
(𝑓 ∈ ℱ𝒞 ∞
),
если
она
имеет
вид <...> Мера m дифференцируема вдоль векторного поля 𝑣,
если существует такая функция d𝑣 (дивергенция 𝑣), что для всякой
3 ∈ ℱ𝒞 ∞
𝑏 (𝑋) справедливо равенство <...> Функция 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (m) принадлежит соболевскому классу 𝑊 𝑟,𝑝 (m), если существует последовательность функций <...> , сходящаяся к 𝑓 в 𝐿 (m) и удовлетворяющая критерию
Коши по норме <...> Будем говорить, что функция 𝑓
𝐶ℱ -квазинепрерывна, если существуют замкнутые множества 𝑄𝑛 такие, что 𝑓 |𝑄𝑛 непрерывна при каждом значении 𝑛, и 𝐶ℱ (𝑋∖𝑄𝑛 ) < 1/𝑛. <...> Известно, что для всякой функции 𝑓 ∈ 𝑊 𝑟,𝑝 (m) существует 𝐶𝑊 𝑟,𝑝 квазинепрерывная <...>