УДК 517.929.4
Об альтернативном способе вывода
матричного неравенства Разумихина
© А.В. Горбунов
МГТУ им. <...> Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Рассматривается способ вывода достаточного условия асимптотической устойчивости для линейной системы с запаздыванием, не использующий классические
теоремы Красовского и Разумихина об асимптотической устойчивости. <...> В основу
подхода положена оценка решений одного скалярного дифференциального неравенства, записанная для значений положительно определенной квадратичной функции на траекториях рассматриваемой системы. <...> Найденное таким способом условие асимптотической устойчивости линейной системы с запаздыванием совпадает с известным ранее условием, являющимся следствием теоремы Разумихина об
асимптотической устойчивости. <...> Ключевые слова: линейная система с запаздыванием, условия асимптотической
устойчивости, теорема Разумихина. <...> (1)
достаточно, чтобы существовала матрица P P т 0 и скаляр 0
такие, что выполняется матричное неравенство
Aт P PA P PB <...> Неравенство (2) получено в [1] на основе условия теоремы Разумихина об асимптотической устойчивости [2–4] для системы (1), в
котором в качестве функции Ляпунова использована функция
v( x) x т Px. <...> Отметим, что для рассматриваемой линейной автономной системы (1) свойства асимптотической, равномерной асимптотической и экспоненциальной устойчивостей совпадают, поэтому усло1 <...> А.В. Горбунов
вие (2) является также достаточным условием экспоненциальной
устойчивости для системы (1). <...> Тем не менее в общем случае теорема Разумихина не дает количественных оценок для динамики значения v ( x (t )) функции Ляпунова. <...> Поэтому при использовании ее для нелинейной системы доказательство свойства экспоненциальной устойчивости уже может быть
существенно затруднено. <...> Отсутствие величины запаздывания h в
условии теоремы Разумихина практически исключает возможность
ее применения для оценки «скорости» переходных процессов в системе <...>